Lujuuslaskentaan johdatus

  1.        Johdanto lujuuslaskentaan.

  2.        Näennäistiede ja suhdelaskenta

  3.        Kirjaintunnukset lujuuslaskennassa.

  4.        Kreikkalaiset aakkoset laskentaan

  5.        Rauta alkuräjähdyksen jälkeen.

  6.        Teräksen viisikulmio.

  7.        Teräs.

  7.1      Teräs koneenrakennuksessa.

  8.        Teräksen lujuus näkemisen geometriana.

  9.        Lujuus näkemisen geometriana.

10.        Standarditerästen vertailu

11.        Sallittuja jännityksiä

12.        Teräksen kovuuden määrittäminen

13.         Kuormituslajit  - normaalivoima

14.        Teräksen kimmokerroin.

15.        Toisenlainen tapa laskea teräksen lujuutta.

16.         Kuormitus ja voima 1 kN

17.        Standardiluvut.

18.        Tuotearvoavaruus.

19.        Painovoima lujuuslaskennassa.

20.        Hooken laki.

             .................

22.        Kappaleen vapaa putoaminen

             -  Pyörötanko 10 mm staattiset arvot

23.        Ympyrän ja neliön pinta-alat

24.        Teräksen ominaispaino.

24.1      Ympyrä ja ellipsi

25.        Voimat aineessa

             .........................

30.        Painovoiman suuruus maapallolla

31.        Taipuman varjo.

32.        Varjo Pascalin kolmion takana.

33.        Taipuman neljäs ulotteisuus.

34.        Taipuminen yleisesti

35.        Staattiset arvot poikkileikkauksille.

36.        HEB I-profiilien staattiset arvot

37         HEB poikkileikkauksien pinta-alat

38.        HEB I-profiilien 1 kN kuorman kantaminen.

39.         Staattiset arvot seinämän paksuudesta.

40.         Sallitut jännitykset, teräs

41.        Teräksen iskulujuus

42.        Teräksen kovuus ja murtolujuus

42.1      Teräksen kovuuden kultainen leikkaus

             ..............................

51.        Aksiaalinen puristuma kaavana

52.        Aksiaalinen puristuma tangossa

53.         Vaijerin puuttuva momentti.

54.         Teräslevyn paino

54.1       Levyjen paksuudet

55.         Pyörötankojen varastonimikesarja

56.         Yleistä mitoittamisesta

57.         Normaalijännityksen laskeminen

              - puristus ja veto

58.         Taivutustapaus 1 laskeminen.

              - taivuttava voima keskellä kannattajaa

59.         Pascalin kolmion kerroin 11

59.1       Kultainen kolmio

60.         Aksiaalinen puristuma.

61          Avaruuslävistäjä lujuuslaskennassa

70.         Laskentaesimerkkejä

1.   JOHDANTO LUJUUSLASKENTAAN

Monet ovat kirjoittaneet lujuudesta, joten ei ole syytä toistaa tunnettua. Siksi tarkas-telemme asioita näkökulmasta, joka on jäänyt vaille huomiota. Suotavaa on, että lukija hallitsee lujuuden määrittämisen jossakin määrin. Kirjoitetun toistamista seuraava kuvaus on silti suuressa määrin, seurauksena samaa tarkoittavuudesta. Kaikki on lopulta samaa tarkoittavaa, joten toistosta ei päästä eroon.

E = m c²

Onhan kaiken alku kaavan perusteella samasta alkanut. Kirjoitetun yhteydessä on hyvä muistaa sormien lukumäärä viisi, unohtamatta tarkastelun liittyvän rautaan, josta käytetään nimitystä teräs. Todettakoon, että on vähän ihmisiä jotka todellisuudessa osaavat muodostaa suhteellisuuden omassa mielessään. Voit testata sen heti aluksi laskemalla seuraavat kaksi yksinkertaista tehtävää.

Edelliset tehtävät olivat vaikeita laskea, joten suurempien kokonaisuuksien hahmottaminen ei liene sen helpompaa? Silti, tämä tarkoittaa ainoastaan tarkastelutavan muutosta, jossa totunnainen ajattelu ei vie kovin pitkälle. Yksinkertaistamalla sen sijaan, on mahdollisuus hahmottaa asioita, jotka muuten jäävät huomaamatta.

Tuotteita suunniteltaessa on hyvä ymmärtää universaali lainalaisuus, joka aineessa vaikuttaa. Ajatellaan taivuksen laskentakaavan antamaa laskentatulosta graafisessa muodossa. Kaavan antamista laskentatuloksista muodostuu käyrä viiva. Yhden lasketun taipumapisteen perusteella ei ole tähän mennessä kyetty ennen suhdelaskentaa määrittämään muiden pisteiden sijaintia. Alla on esimerkki kaavasta, jolla kannattajan taipuma määräytyy omasta painosta, mutta sen perusteella eivät muut arvot, saati tapaukset selviä. Kuitekin alla oleva kaava perustuu edellä olleeseen, kenties tunnetuimpaan energian kaavan. Tästä johdettuna molemmat kaavat perustavat kaiken muun samaa tarkoittavuuden kautta ja näin yhden arvon tuntemalla tunnetaan paljon muita asioita ja johon geometriset kuviot tuovat perustaa. Lopulta ei ole tarvetta niin moneen kaavaan, kuin tällä hetkellä. 

f = 5 x F x L³ / ( 384 x E x I )

Sauvan taipumaviiva

                                                             tunnettu      tuntematon

Suhdelaskentaa kuvaa tasapainovaaka, perustuen arvon vipuamiseen. Käsin koskemattoman vaa'an yhteydessä punnittavat asiat ovat käsitteellisiä arvoja. Ajatellaan kiveä ja pussillista hiekkaa. Laitamme kiven toiselle puolelle vaakaa. Toiselle puolelle vaakaa asetetaan hiekkaa, kunnes vaaka on tasapainossa. Ei tarvitse tietää kiven painoa määrittääkseen vastaavan painon hiekan määränä. Kiven painon tietämällä, vastaavan hiekan määrän laskeminen ei olisi järkevää. Monet asiat ovat hiekan kaltaista, mutta jonka voi määrittää tunnettuun vertaamalla. 

On syytä muistaa, ettei laskennan perusta tai saatavat laskentatulokset poikkea siitä, mitä muulla tavalla laskemalla saadaan. Vahvistaakseni tätä käsitystä, liitän suhdelaskentaan lujuuden laskennan perusteita. (828)

2.   NÄENNÄISTIEDE JA LUJUUSLASKENTA

"Pseudotiede, valetiede, kvasitiede on tieteellisenä esiintyvää, täyttämättä tieteellisyyden tunnusmerkkejä. Näennäistieteellä tarkoitetaan käsitystä, menetelmää tai toimintaa jonka väitetään olevan tieteellistä mutta joka ei käytä tieteellistä menetelmää, jolta puuttuu sitä tukeva todistusaineisto, tai muuten tieteellinen status".

Toimittuani kaksikymmentä vuotta koneenrakennuksen konsulttina, en voinut olla huomaamatta asioita, jotka toistuivat mitä erinäisemmissä yhteyksissä. Tämän seurauksena laskennan nimityksenä on samaa tarkoittava suhdelaskenta. Eräänä ensimmäisistä havannoista oli tässä ajassa annettavan opetuksen olevan parasta, mitä tiede voi tarjota. Silti aniharva yliopistosta valmistuva hallitsee alkeet koneenrakennuksen suunnittelusta. Tämän on havainnut yksinkertaistaen koneenosien mitoittamisen yhteydessä, joista ei suoriuduta. Poikkeuksen tekevät ne, jotka kykenevät muittenkin puolesta laskemaan asioita.

Lujuusoppi ja lujuuslaskenta ovat jatkuvan aineen mekaniikkaan kuuluva fysiikan ala, jotka tutkivat kiinteiden kappaleiden käyttäytymistä ulkoisten ja sisäisten kuormien vaikutusta niihin.

3.   KIRJAINTUNNUKSET LASKENNASSA

Tunnus          Kuvaus käytöstä

α (alfa)          Kulma yleisesti tarkasteluissa

a                   Sivu (a,b,c...), etäisyys yleisesti

A                   Tukivoima lujuuden määrittämisen yhteydessä

B                   Tukivoima, jolloin yleensä kaksi tukivoimaa  A ja B

C                   Jäykkyys taipumasuhteena kannattimen pituuteen, 1:1000, 1:200...,

                      Laakerin dynaaminen kantavuus

C₀                    Laakerin staattinen kantavuusluku

d                    Ruuvin / niitin / reiän halkaisija, uumalevyn paksuus

D                    Kappaleen ulkohalkaisija, niitin kannan halkaisija jne.

e                     Reunaetäisyys painopisteakselista, epäkeskisyys

E                    Kimmomoduuli 20600 kN/cm²                     (21000 kN/cm²)

φ (fii)              1,618 kultaisen leikkauksen suhdeluku

f                     Taipuma, alkukäyryys

F                     Voima kN (= 100 kg ) => F10 vastaa 1000 kg kuormaa, kuormitusta

F_n                   Nurjahdusvoima lujuuden mitoittamisessa

F_v                   Ruuvin esikiristysvoima asennuksessa

g                     Tasaisesti jakautunut pysyvä kuorma

                      Suuruudenvaikutusluku lujuuden määrittämisessä

                      Putoamiskiihtyvyys 9,82 m/s putoamisliikkeessä

G                    Liukumoduuli (liukukerroin) 8000 kN/cm²

                      Materiaalin paino kg/m

h                    Uumalevyn korkeus

                      Muototeräksen nimellinen korkeus

                      Yleensä korkeus

I                     Neliömomentti

I_x                    Neliömomentti x - x akselin suhteen

I_y                    Neliömomentti y - y akselin suhteen

µ   (myy)        Kitkakerroin yleisesti

L                    Kuormituspituus kannattajan pituussuunnassa tai pituus yleensä

L_n                   Nurjahduspituus lujuuden mitoittamisessa

M                   Voiman momentti rakenneosan mitoittamisessa

M_t                   Taivutusmomentti rakenneosan mitoittamisessa

M_v                   Vääntömomentti rakenneosan mitoittamisessa

n                     Varmuuskerroin, porrastusten lukumäärä suhdelukujanassa

N                    Normaalivoima lujuuden mitoittamisessä

p                    Pintapaine yleiskäsitteenä kaiken määrittämisessä

π   (pii)           Kerroin 3,14159 ympyrän kehän ja säteen välisenä suhdelukuna

P                    Pistekuorma, teho lujuuden ja energian määrityksessä

r                     Pienempi säde, erityisesti väsymismitoituksessa

R                    Suurempi säde, erityisesti väsymismitoituksessa

s                     Aineenpaksuus lujuuden määrittämisessä

σ_m  (sigma)    Myötöraja materiaalin lujuuden määrittämisessä

σ_M                  Murtolujuus materiaalissa

σ_n                   Nimellisjännitys, nurjahdusjännitys lujuuden määrittämisessä  

σ_t                   Taivutusjännitys lujuuden määrittämisessä

σ_tsall               Sallittu taivutusjännitys lujuuden määrittämisessä

σ_T                     Tykytyslujuus lujuuden määrittämisessä

σ_v                      Vääntölujuus lujuuden määrittämisessä

σ_W                    Vaihtolujuus lujuuden määrittämisessä

t                      Aika yleisesti

τ  (tau)            Leikkausjännitys yleisesti lujuuden määrittämisessä

v                     Poissonin luku (0,3 teräkselle) lujuuden määrittämisessä

                       Poisson's ratio (0,3 to steel) when strength defining

W_x                 Taivutusvastus x-akselin suhteen

W_y                 Taivutusvastus y-akselin suhteen

=  ;  #             Samaa tarkoittavaa  ; ei samaa tarkoittavaa

=>                  Siitä seuraa

4.   KREIKKALAISET AAKKOSET LASKENTAAN

Iso     Pieni     Lausutaan

Α          α         alfa

Β          β         beeta

Γ           γ         gamma

Δ          δ         delta

Ε          ε          epsilon

Ζ          ζ          zeta

Η         η          eta

Θ         θ          theta

Κ         κ           kappa

Λ          λ          lambda

Μ         μ           myy

Ξ          ξ           ksii

Π         π           pii

Ρ          ρ           rhoo

Σ          σ           sigma

Τ          τ            tau

Φ         φ           ffii

Ψ         ψ           psii

Ω          ω          oomega

5.   RAUTA ALKURÄJÄHDYKSEN JÄLKEEN

Lujuuden laskemiseksi tarvitaan materaali rauta, jota on maapallolla alkuaineista eniten. Rauta, nimitykseltään teräs on materiaali tähän tarkoitukseen. Suhdelaskennan viisi porrastusta on suhteellisuusraja arvoissa ja rauta sijoittuu tälle porrastukselle, lämpötilana 4000 Kelviniä. Painavampi materiaali kuin rauta tarvitsee muodostuakseen ydinfuuusion. Pysymme teräksessä (S235 ja S355) eli lämpötilassa 10⁶ Kelviniä, kuten taulukko osoittaa. Alkuaineista kevyemmät kuin teräs muodostavat 99.99997% tähtien koostumuksesta. Terästä painavammat alkuaineet ovat pieni vähemmistö, mutta niiden määrä on kaksi kolmasosaa alkuaineista.

Metallien muodostuminen                                                                       

Ydinreaktio                                         Lämpötila 10⁶ K       Pascalin kolmio

0. Vety -> helium                                      10 - 40                                1

1. Helium -> hiili, happi                           100 -200                       1           1

2. Hiili -> neon, natrium, magnesium          800                     1           2          1

3. Neon -> magnesium, pii                        1 700                1        3            3       1

4. Happi -> pii, rikki                                    2 100          1         4          6          4        1

5. Pii -> titaani, sinkki, nikkeli, rauta           4 000      1       6          1           1         6       1

Pascalin kolmion alin rivi on järjestyksessä viides rivi lähtöarvosta 0. Rivin viisi havaitsee kultaiseksi leikkaukseksi 1,618, vaikka poikkeaa hieman arvosta 1,618.  

Viidennettä alkuainetta kuvaa viisikulmio, jossa kultainen leikkaus esiintyy monessa. Tätä kuvataan näkemisen geometriassa ja lujuuslaskennassa. (594)

6.   TERÄKSEN VIISIKULMIO

Teräksen viisi ominaisuutta

6.1   Kovuus

Kovuutta käytetään vierintälaakereiden vierintäpinnoissa, kestämään sen elinaikaisen kuormituksen. Meistotyökalujen pistimissä käytetään karkaistua terästä, jolloin työkalu kestää satojatuhansia iskuja lävistämisessä. Kova, karkaistu materiaali kestää kuormitusta puristavana.

6.2   Pehmeys

Esimerkiksi ultra-lujissa teräsmateriaaleissa vaaditaan paikallista pehmeyttä, jotta niitä voi taivuttaa ja muovata.

6.3   Sitkeys

Sitkeää rakenneterästä voi taivuttaa, leikata, vetää, puristaa ja vääntää. Sitkeä aine ei katkea vetokokeessa, kuten hauras materiaali pienestäkin venymästä. Sitkeään materiaaliin liittyy kurouma ennen sen katkeamista ja sille on määritettävä venymäkäyrä, joka noudattaa Hooken lakia.

6.4   Hauraus

Hauras aine kestä vetävää voimaa, esimerkkinä betonipilari. Rakennuksissa ja pilareissa, teräksellä jäykistetty betoni on taloudellinen tapa rakentaa suuria puristavia kuormia vastaanottava rakenne. Taipuvaan rakenteeseen, ilman vetojännitysten poistamista esim. esijännitettyjen vaijereiden avulla, betoni ei sovellu.

6.5   Elastisuus

Elastisen rakenteen kovasta raudasta voi tehdä jousiteräksellä tai muuten joustavuutena.  Kierrejousessa pienipoikkileikkauksellinen profiili kierretään vääntöä vastaanottavaksi. Jännityksen jousessa voi määrittää yksinkertaisen laskennan avulla.  (345)

7.   TERÄS

Teräs on metalliseos, sisätäen rautaa ja pienen määrän hiiltä. Hiili on ensisijainen seosaine, ja sen sisältö teräksessä on 0,002 - 2,1 painoprosenttia. Teräs on merkittävästi karkaistu ja puhdistettu epäpuhtauksia, kuten hiilestä sulatusprosessissa. Tietty hiilen osuus teräksestä (0,002 - 2,1 prosenttia) tuottaa terästä, joka voi olla jopa 1000 kertaa kovempaa kuin puhdasta rauta. Rautametallia on käytetty antiikin ajoista lähtien, vaikka kupariseokset, joilla on pienempi sulamislämpötila, käytettiin ensin historian kulussa. Muita teräksen lisäineita voivat  olla: mangaani, fosfori, rikki, pii, ja jälkiä hapesta, typestä ja alumiinista.

Historiaa

Antiikin Kreikka kreikkalaisena sivilisaation ajanjaksona Kreikan historiassa, kesti 800 - 600 vuotta ennen ajanlaskua ja jatkui antiikin ajan loppuun (noin 600 jKr).

Nyt olemme sijoittaneet raudan historiaan, vai olemmeko? On olemassa myös vanhempaa meteorirautaa, mutta löydetty materiaalia on enimmäkseen käytetty pääasiassa koruihin, ei työkaluihin.

"Meteorirauta on peräisin meteoriitiista ja sisältää pääasiassa rautaa ja nikkeliä lähinnä muodossa mineraalifaaseina kamasiitti ja taeniitti. Kamasiitti ja taeniitti ovat pääasiallisia rauta-nikkeli-muotoja teräsmeteoriitissa.

Meteorirauta muodostaa leijonanosan rautameteoriitista mutta sitä on todettu myös muissa meteoriititeissa. Lukuun ottamatta vähäistä määrää maan rautaa, meteorirauta on ainoa luonnossa esiintyvä metallirauta maan pinnalla".

Teräslevy Suuresta pyramidista

Näytteitä sulatetusta raudasta Asmarista, Mesopotamiasta ja Tall Chagar Bazaarista Pohjois-Syyriasta tehtynä vuosien 2700 -3000 vuotta ennen ajanlaskua. Valokuva Wikipediasta.

7.1   TERÄS KONEENRAKENNUKSESSA

Koneenrakennuksen materiaali teräs on tarkasti määritettyä. Käytettäessä terästä vaativaan rakenteeseen, on siitä tarvittaessa saatavissa ainestodistus. Todistus on esitettävissä viranomaiselle ja loppuasiakkaalle. Teräksen tasalaatuisuuden ja dokumentoinnin seurauksena syntyy mahdollisuus laatia luotettavia lujuuslaskelmia. Kerran tehdyt laskelmat ovat toistettavissa suunnitelmissa, materiaali on tasalaatuista ja sitä löytyy kaikkialta maailmankaikkeudesta.

Näin ei ole vaikkapa puuta käytettäessä, sillä puun laatu vaihtelee eri puolilla maailmaa. Puu lahoaa helposti, on tulenarkaa, kestää huonosti kulumista, paisuu kostuessa ja kutistuu kuivuessa. Muovit täyttäisivät tasaisen laadun vaatimuksen, jos niillä olisi yhtenäinen vakio koostumus. Muovien käyttö tuotteissa on rajoitettua, eikä sovi siksi tarkasteluun. Lujuuslaskenta on lehittynyttä metalliteollisuuden tuotteissa. Valmistusmenetelmät teräksen osalta liittyvät myös enemmän teollisuudessa tapahtuvaan toimintaan, kuin puun yhteydessä.

Laskenta esittää teräkseen ja liittyvän suhteellisuuden, josta avautuu kokonaisuuden hahmotus. Seostamaton teräs osoittaa raudan suhteellisuuden. (1042)

8.   TERÄKSEN LUJUUS NÄKEMISEN GEOMETRIANA

Platonin luolaesimerkki

Allegory of the Cave

Platonin mukaan, kuva todellisuudesta muodostui todellisista esineistä, jotka muodostivat varjoja luolan seinälle. Platonin esimerkissä vanki pääsi luolasta vapauteen, mutta joutui palaamaan takaisin luolaan. Aikaisemmin varjoja nähnyt vanki, kertoi nyt todellisista varjojen takana olevista esineistä. Lopputuloksena, muut vangit halusivat mieluummin tappaa tämän vangin, kuin muuttaa käsitystään todellisuudesta. Nämä muut eivät kenties poikkea meistä, mikäli piirtymättömät varjot näkymättömästä eivät ole tiedossamme. Tieto antaa mahdollisuuden nähdä sellaista, joka ilman tietoa ei ole mahdollista. Sallikaa minun esittää ajatusta enemmän.

Plato´s cave example

Allegory of the Cave

1 - 1.12 - 1.25

Se, mitä meillä on paljon, on maapallon teräspitoinen maaperä. Normaalin rakenneteräksen kovuus lujuuslaskentaan on HB 112, keskiarvo vaihteluvälistä HB 100 - 125. Pyöreä ympyrä halkaisijaltaan 112 (*yksiköt ovat teidän), sisältää mittakaavan, teräksen S235 kovuudesta. Jokainen osaa piirtää ympyrän halkaisijaltaan 112 yksikköä, jolloin kaksiulotteinen ympyrä esittää paperilla kovuuden. Ympyrä muodostaa pinta-alan 9852 neliöyksikkömittaa eli toisin sanoin painovoiman 9,82 yksikköä/s². Tekemällä ympyrästä kolmeulotteisen pallon, sillä voi määrittää teräksen kovuuden. Kuulan painaminen teräksen pintaan, on käytössä oleva menetelmä kovuuden määrittämiseksi.

Alla on kuvio, josta voi jatkaa pitkälle lujuuden määrittämiseksi. Seinälle piirtymättömästä varjosta, näkymättömästä ilmiöstä nimeltään lujuus. Samalla tavalla kuin näkyvällä on näkyvä varjo, on näkymättömällä laskennallinen näkymätön varjo. Laskennan lisäksi, näkymättömällä on geometrinen vastine.

*Yksiköt ovat ihmisen keksimiä, kuten mm, tuuma, valovuosi jne.  (905)

9.   LUJUUS NÄKEMISEN GEOMETRIANA

Suhdelaskenta esittää matemaattisen selityksen suhdeluvulle 1,618. Tämä esitetään teräksen ja rakenteiden lujuuden näkökulmasta. Tietoa, joka on yhteistä arkkitehdille, insinöörille ja ammatti-ihmisille kaikilla aloilla. Laskennan rajaamatta ketään ulkopuolelle.

Tuotesuunnittelija ei ole varsinainen muotoilija, mutta käyttämällä lukusuhdetta 1,618 ja luvun neliöllistä suhdetta 1,25 on suuri mahdollisuus suunnitelman kohteiden olevan miellyttävän näköisiä. Havaitsemme lujuuden rakenteessa noudattavan suhdelukua 1,618.

Esimerkeissä käymme lujuuden laskennan lävitse taivutuksesta väsymiseen. Havaitsemme lujuuden siirtyvän suhteellisena tuotteisiin. Laskemalla oikein yhden tuotteen, muut sarjan tuotteet ovat suurella todennäköisyydellä oikeassa suhteessa. Suhdelaskenta on matemaattinen rakennelma, jolla ei ole loppua.

Näitä tarkasteluja ei tehdä vain tuotteissa, se tehdään kaikissa mahdollisissa ilmiöissä. Rajoite on kokemus tavanomaisen ratkaisun hallitsemisesta. Edellinen, sillä kokemusta tarvitaan laskennan vertaamiseksi perinteiseen laskemistapaan. (299)

12.   TERÄKSEN KOVUUDEN MÄÄRITTÄMINEN

• HB        Yleismittausmenetelmä alle HB 400 kovuuksilla
• HRV     Karkaistut ja pintakarkaistut teräkset
• HRB     Harvoin käytetty menetelmä
• HV        Nitratut teräkset
• Shore    Kumit

Menetelmän yksinkertaisuuden vuoksi sitä kerrotaan käytetyn aikaisemmissa sodissa tuhottujen vihollisen panssarivaunujen materiaalin määritykseen, jotta niihin osattiin kohdistaa riittävä tulivoima. Kertomus vaikuttaa realistiselta.

      1,25² x 1.03 = 1,618                                  Fii

              1,25² x 2 = 3,14                                 Pii

                        3,14 x 2 = 6,28                         2 Pii (radiaania)

Ellen ole pahasti väärässä, missään ei ole aikaisemmin esitetty kovuuden matemaattista muodostumista aineen lujuuteen perustuen. Olkoon tämä yksi todistus esittämäni laskennan todellisuudesta. Vastaavalla tavalla muutkin materiaalin ominaisuudet liittyvät suhteellisuuteen, fysiikkaan, valon nopeuteen ja siitä laskettavaan aikadilaatioon.

13.   TERÄKSEN KIMMOKERROIN

Kimmokerroin E kuvaa taipuman määrää kuormitettuna. Kimmokerroin sijoitetaan taipuman kaavaan jakajaksi => mitä suurempi kimmokertoimen arvo, sitä vähemmän materiaali taipuu.

Teräksille yhteinen kimmokerroin on 21 000 kN/cm². Kimmokertoimelle käytetään kahta kirjallisuudessa mainittua arvoa 20600 ja 21000 kN/cm². Laskennassa ja taulukoissa käytän pienempää arvoa, joka antaa 1 % suuremman taipuman. Molemmat ovat riittävällä tarkkuudella, mutta suunnittelun kannalta turvallisemmalla puolella, missä laskentaa käytetään mitoittamiseen.

Mitoitettaessa taipuma, se määritetään profiilin poikkileikkausmuodosta. Taivutuksessa tämä merkitsee samaa taipumaa eri lujuuksisille teräksille. Teräksen lujuudella on merkitystä pyrittäessä kevyeen rakenteeseen. Tämä saavutetaan sallimalla suurempia paikallisia jännityksiä => suurempi taipuminen. Laskenta perustuu teräksen valmistajan takaamaan myötörajaan erikoisteräksillä ja vakioteräksillä taulukoituun arvoon. Käytännön teräslaadut ovat S235 ja S355 ( lähellä 1,618 suhdelukua) teräkset, joiden mittavalikoima on laaja. Terästen tuoteluettelot toimivat oppaina valittaessa terästä. Teräksen kimmoraja sijaitsee myötörajan ja suhteellisuusrajan välillä. Suhteellisuusraja on jännitysvenymäkäyrän suora alkuosuus. Venymä kasvaa suhteessa jännityksen lisääntymiseen. Saavuttaessa myötörajalle, jatkuu venymä tästä eteenpäin enemmän kuin jännitys lisääntyy. Ylitettäessä kimmoraja jää pysyvä muodonmuutos.

Materiaali                              kN/cm²                                 N/mm²                   GPa

Alumiini                                    7000                               70 000                      70

Betoni                                1 000 - 4 000                 10 000 -40 000            10 - 40

Duralumiini                              7 400                               74 000                      74

Hopea                                      8000                               80 000                       80

Invar                                       14 600                             146 000                    146

Iridium                                     15 600                            156 000                    156

Jää - 4^o  C                               1 000                               10 000                       10

Kadmium                                 5 100                                51 000                      51

Kupari                                     12 000                             120 000                     120

Lasi                                           7 200                              72 000                       72

Luonnonkumi (kautsu)                 5                                     50                         0,05

Messinki ja pronssi           10 300 -   12 400               103 00 - 124 00            100

Nailon                                    200  -   400                     2 000 - 4 000              2 - 4

Teräs                                         21 000                             210 000                   211

Titaani                               10 500 - 12 000            105 000 -  120 000        105 - 120

Timantti                            105 000 - 120 000      1 050 000 - 1 200 000     1050 - 1200

Tammi syiden suuntaan              1 100                              11 000                     11

Volframi                                      40 000                             400 000                  400

Volframkarbidi                    45 000 -  65 000           450 000 - 650 000         450 - 650  

1 Pa = N / m²

Lopuksi

- Lujasta materiaalista valmistettua osaa voi kuormittaa suuremmalla voimalla.

- Lujuus ei ole jäykkyyttä => toisen lisääntyessä, myös toinen kasvaa. Tästä seurauksena on matemaattisen tarkastelun mahdollisuus, suhteellisuuden säilyessä kuormitusten olosuhteissa ja materiaaleilla vertailukelpoisena.

- Kimmokerroin on kaavassa jakaja => taipuman pienentämiseksi on valittava suurempi poikkileikkaus samaa materiaalia tai vaihdettava materiaali suuremman kimmokertoimen omaavaan. (12)

14.   KUORMITUSLAJIT

Rakenne-elimet ovat toisistaan poikkeavia, mutta niistä voi erottaa viisi päärasituslajia mitoittamiseksi. Jotkin voimista määräävät yksin mitoituksen, jotkin ovat yhdistelmiä kahdesta eri rasituksesta. Niissä voima F tai yhdistelmäkuormituksissa (6 - 7), voimat kuormittavat sauvan muotoista kappaletta.

Normaalivoima

Si-järjestelmässä normaalivoima newton (N) on mekaniikan suure. Normaalivoiman käsitettä tarvitaan aineenlujuuden määrittämiseksi, selvittämällä poikkileikkaustasosssa vaikuttava jännitys. Kitkan yhteydessä normaalivoima on kahden kappaleen väliseen pintaan vaikuttava kohtisuora voima, aiheuttaen kappaleen pinnalla vaikuttavan kitkavoiman.

Kuormituslajeissa 1 - 3 syntyy ns. normaalivoima.

Puristavat ja vetävät voimat

F  <=  =======  =>  F

1.  vetäminen, jossa voiman vastustaminen vaatii aineelta vetolujuutta.
    - normaalivoima, tarkastelutason pintaan nähden kohtisuoraan vaikuttava voima
    - vedettävä kappale voi olla pitkä, poikkileikkauksen jännitaso määrittää voiman suuruuden
    - voima saa nimellisen arvon 1

F  =>  =======  <=  F

2.  puristaminen, jossa voiman vastustaminen vaatii aineelta puristuslujuutta.
    - normaalivoima, tarkastelutason pintaan nähden kohtisuoraan vaikuttava voima
    - sauvan ollessa riittävän lyhyt, jännitystaso määrittää voiman suuruuden
    - sauvan ollessa riittävän pitkä, nurjahtaminen määrittää voiman suuruuden
    - voima saa nimellisen arvon 1

3.  taivuttaminen, jossa voiman vastustaminen vaatii aineelta taivutuslujuutta.
   - normaalivoima, tarkastelutason pintaan nähden kohtisuoraan vaikuttava voima
   - jännitystaso - puristus ja veto - määrittää voiman suuruuden
   - voima saa nimellisen arvon 1

Leikkaavat voimat

4   leikkaaminen, jossa voiman vastustaminen vaatii aineelta leikkauslujuutta.

     - leikkaava voima, tarkastelutason pintaan nähden poikittain vaikuttava voima

     - jännitystaso määrittää voiman suuruuden

     - voima saa nimellisen arvo 1,61...

5   vääntäminen, jossa voiman vastustaminen vaatii aineelta vääntölujuutta.

     - leikkaava voima, tarkastelutason pintaan nähden poikittain vaikuttava voima

     - jännitystaso määrittää voiman suuruuden

     - voima saa nimellisen arvon 1,61...

Yhdistämällä nimelliset arvot 1 + 1 + 1 + 1,61.. + 1,61... = 6,2(8), jolloin radiaaneina normaalivoimat muodostavat täyden ympyrän. Kertomalla täyden ympyrän radiaaniarvon 6,2... kultaisen leikkauksen kertoimella 1,61..

6,2... x 1,61.. = 10

suhteutuvat jännitykset kymmenlukujärjestelmään ja keskenään laskettavaksi. Samaa tarkoittava suhdelaskenta ei ole desimaaleja, kuten mitkään laskennalliset kuormitukset eivät ole eksakteja. Edellä olevien viiden kuormituksen lisäksi ovat erikseen tarkasteltavat ...

Yhdistelmävoimat

6   nurjahtaminen, jolloin puristavan ja taivuttavan voiman vastustaminen vaatii sauvalta nurjah-duslujuutta. 

     - vastaa taivuttamista, mutta laskenta tehdään omilla kaavoilla 

   - laskenta tunnetaan huonosti taivuvutuksena tarkastellen, erään osatekijän vuoksi (selitän sen joskus)

7    kiepahtaminen, jolloin taivuttavan ja vääntävän voiman vastustaminen vaatii sauvalta kiepahduslujuutta.

     - taivutus + vääntö

15.   TOISENLAINEN TAPA LASKEA TERÄKSEN LUJUUTTA

Teräs tarvitsee otskossa mainitun menettelyn, poiketen aritmetiikasta. Aritmetiikka on vanhin ja perustavin ns. alakoulun matematiikka, jota käytetään yleisesti ja sillä laskettavat asiat vaihtelevat yksinkertaisista päivittäisistä laskelmista kehittyneisiin tieteellisiin ja taloudellisiin laskelmiin. Aloitamme Phi ja Pi laskennan. Mikäli arvo Pi (3,14) merkitsee vain ympyrän kehän ja sen halkaisijan suhdetta, on lujuuden laskennan näkemys kapea-alaisuuteen perustuva. Edellä havaittiin normaalivoimien nimellisten arvojen muodostavan täyden ympyrän 6,28 radiaania, josta piin arvo 3,14 on puolet. Käyttämämme piin arvo on käsin kosketeltavien asioiden yhteydessä tuntemamme, sen tuntemattomampi puoli on käsin koskemattomien asioiden yhteydessä, kuten jännitykset teräksessä ovat näkymätöntä.

Näkemisen geometria

Kultainen leikkaus + Kultainen leikkaus + Kultainen leikkaus/Staattisen väsymisen kitka = Täysi ympyrä 6,28 radiaania

1,618 + 1,618 + 1,618 + 1,618 / 1,03 = 6.28 rad

1,618 + 1,618 / 1,03 = 3,14 (pi)

1,25 x 1,25 = 1,57

1,57 x 1,03 = 1,618

1 = jokin olemassa oleva 0.25  =>  Kerroin 1,25 laskentaan

(Huomioi viisi porrastusta)  (847)

Aikadilaatio taulukko

16.   KUORMITUS JA VOIMA 1 KN

Periaatteessa laskentaan tarvitaan yksi 1 kN kuorma tai kuormitus. Puhekielessä vastaten karkeasti 100 kg painoa, fysiikassa 100 kg massaa. Laskennassa kuormitus/kuorma on suhteellinen 1 kN (tarkasti 98,2 kg) kuormitus, joka on monen ihmisen oma paino. 1 kN merkintä saa suuren F kirjaimen ja kerrannaisluvun perään.

Nyt on mielikuva kuormasta 1 kN, jota verrataan tarkasteltavaan, vaikka se olisi sata kertaa suurempi. 1 kN kuorma merkitään F1 ja vastaavasti 5 000 kg kuorma F50. Kuorman F50 vertaaminen kuormaan F1, tekee laskennasta suhteellisen. Laskenta vertaa jännityksiä, taipumia ja muita arvoja ja on nopea tapa laskea. Suhteellisuus laskee myös usein kokonaisuuden, joka perinteisellä tavalla laskien veisi "iäisyyden". Joskus taas perinteinen laskenta ei pysty siihen, johon suhdelaskenta kykenee. Kuormat ovat todellisia kuormituksia tai nimellisiä esimerkiksi lujuuslaskennan yhteydessä. Maailmassa kaikella on vastaparinsa, joten tässäkin aineeton ja aineellinen kohtaavat toisensa.

Suhdelaskenta on mahdollista tällä järjestelyllä, johon myös Pascalin kolmio liittyy. Laskennassa lasketaan myös potenssien lukumäärä ja katsotaan tulos joko taulukosta tai laskukoneella. Ajatus lujuuden laskentatavasta oli jo olemassa, kunnes kuulin eräässä suunressa insinööritoimistossa; "Minä en osaa laskea lujuuksia, mutta kun kävelen rakenteen päällä, osaan sanoa, tarvitseeko rakennetta vahvistaa". Tämä vahvisti minulle laskennan periaatteen suhdelaskentaan. Kiitos tälle koneenrakennuksen insinöörille.

17.   STANDARDILUVUT

Pythagoraan määrittämät sävelasteikon lukusuhteet musiikkiin, toimii johdantona samaa tarkoittavaan suhdelaskentaan. Tekninen tuotesuunnittelu perustuu "koneenrakennuksen sävelasteikkoon", josta käytetään nimitystä standardilukujen perussarjat. Standardilukujen perussarjojen porrastuksen periaate on Arkhimedeen kultaisessa säännössä mainittu vipuvarren pituus. Mitä kauempana jokin on pienemmästä, sitä suurempiarvoinen tämän arvo on pienempään verrattuna.

Seuraavassa on kaksi määritelmää standardiluvuista, joista toinen on SFS -standardin mukainen ja toinen DIN -standardin mukainen. Kyse on samasta.  Välissä on aikaa kulunut noin 2 500 vuotta Pythagoraan ajoista.

SFS 2964 standardi 1973

"Standardilukujen tarkoitus on yhtenäistää ja helpottaa suureiden vapaasti valittavien lukuarvojen valintaa. Standardiluvut soveltuvat mille tahansa suureelle ja niitä käytetään myös muualla kuin standardiosissa. Muita lukuja käytettäköön vain, kun erityiset syyt  niin vaativat."

Edellä on yksiselitteinen ohje noudattaa standardilukuja. Olemmeko ohittaneet ohjeen huomioimatta sitä? Olemmeko kenties tietämättämme käyttäneet suhdelukuja? Näin tapahtuu mm. teräsprofiilien ja erilaisten komponenttien kohdalla, jotka perustuvat mitoiltaan standardilukuihin.

Esimerkki HEA-poikkileikkauksesta

1   -   1,25   -   1,6   -   2   -   2,5  -   3,15  -   4   -   5   -   6,3   -   8   -   10

HEA       100     120        160      200    240     300     400   500    600

Samoin muiden terästen poikkileikkausten yhteydessä.

Hihnakuljettimen hihnan leveydet (mm)

1   -   1,25   -   1,6   -   2   -   2,5  -   3,15  -   4   -   5   -   6,3   -   8   -   10

                                                        300     400    500    650     800   1000

       1200     1600    2000

Metriset ruuvit (mm)

                  1   -   1,25   -  1,6   -   2   -   2,5  -   3,15  -   4   -   5   -   6,3   -   8   -   10

                          M1,2     M1,6    M2     M2,5    M3     M4     M5     M6     M8      M10

                          M12      M16    M20   (M24)   M32   M42

DIN 323, DIN 3

"Normaalilukuja käytetään kone- ja kojesarjojen valinnassa, määrättäessä paineiden, kierroksien, kehänopeuksien, tehojen ym. suureiden lukuarvoja sekä koneenosien mitoituksessa pituusmittoina." Yleisohjeena mittojen tulee noudattaa perussarjoja, jotka kappaleen teknillistä tarkoituksenmukaisuutta vaarantamatta tai raaka-ainetta tuhlaamatta ovat mahdollisia.

Perussarja R 5

Standardiluvut ovat pyöristettyjä arvoja geometristen sarjojen peräkkäisistä termeistä. Sarjoiksi valitaan viides juuri kymmenestä (1,6 = R 5), kymmenes juuri kymmenestä (1,25 = R 10), kahdeskymmenes juuri kymmenestä (1,12 = R 20) ja neljäskymmenes juuri kymmenestä (1,06 = R 40).

Standardilukujen perussarjoilla R 5 ja R 10 on suuri vaikutus tuotesuunnitteluun. Standardilukujen perussarjan kertoimen voi tarkistaa kertomalla luvun 1,6 viisi kertaa peräkkäin:

1,6 x  1,6   x  1,6   x  1,6  x  1,6 = 10,(486)

 1 – 1,60 – 2,50 – 4,00 – 6,30 – 10

1,6⁵ = 10 

        1,25¹⁰ = 10 

                    1,12²⁰ = 10 

                               1,06⁴⁰ = 10

                                         (1,03⁸⁰ = 10)

Perussarja R 10

Yhdellä tai kahdella standardilukujen perussarjalla koneenrakennuksen suunnittelua ei voi selittää tai käytännössä toteuttaa, mutta sitä voi mallintaa niiden avulla. Standardilukujen perussarja R 5 on kuitenkin porrastukseltaan liian harva tuotesuunnitteluun.

Tämän vuoksi perussarjaa R5 täydennetään standardilukujen perussarjalla R 10, sisältäen kertoimen 1,25, jolla edellinen luku kerrotaan. Porrastus vastaa useita tuotteita. Myös lujuuslaskennan sekä koneiden vanhenemisessa, kerroin 1,25 on merkittävä, josta esimerkkien myötä saamme tietoa.

1,00 – 1,25 – 1,60 – 2,00 – 2,50 – 3,15 – 4,00 – 5,00 – 6,30 – 8,00 – 10,00

Perussarja R 20

1,00 – 1,12 – 1,25 – 1,40 – 1,60 – 1,80 – 2,00 – 2,24 – 2,50 – 2,80 – 3,15 – 3,55 – 4,00 – 450 – 5,00 – 5,60 – 6,30 – 7,10 – 8,00 – 9,00 10,00

Standardilukujen perussarja R20 on liian tiuha tuotesuunnitteluun, tuotevariaatioiden määrän kasvaessa suureksi sarjan mukaisesti mitoittaen, mutta sopii erinomaisesti tuotteille, kuten putkille jne.

Perussarja R 40

Lukusarjaa valittaessa asetetaan R 5-sarja etusijalle R 10-sarjaan nähden, tämä edelleen R 20-sarjaan nähden jne. Alla esitettävä perussarja on, kuten edellinen R 20-sarja,  jota ei käytetä suhdelaskentaan. Tuotesuunnittelijan on hyvä tiedostaa standardilukujen perussarjat, sillä suhdelaskenta perustuu suurelta osin standardilukujen käyttöön.

1,00 – 1,06 – 1,12 – 1,18 – 1,25 – 1,32 – 1,40 – 1,50 – 1,60 – 1,70 – 1,80 – 1,90 – 2,00 – 2,12 – 2,24 – 2,50 – 2,65 – 2,80 – 3,00 – 3,15 – 3,35 – 3,55 – 3,75 – 4,00 – 4,25 – 4,50 – 4,75 – 5,00 – 5,30 – 5,60 – 6,30 – 7,10 – 8,00 – 9,00 – 10,00

(Esimerkiksi putket ja niiden ulkohalkaisijat)

Perussarjojen käyttö

Standardilukujen perussarjan R 5 muotosuhde 1,6 on sopusuhtainen, jonka voi tarkistaa mittaamalla jonkun huonetilan pituus ja leveys. Myös kasvojen korkeuden ja leveyden suhdetta 1,6 pidetään miellyttävänä. Mittaa pään leveys ja korkeus havaitaksesi suhteen.

Sarja R10 täydentää muotoa, joka tulee esille lujuuslaskennassa. Suunnittelija tekee työtä lujuuden ja muodonmuutosten parissa, lisäksi suunniteltavan kohteen kestämiseksi korroosiota ja väsymistä vastaan. Tuotesuunnittelijan olematta muotoilija, oikein mitoitettu on usein samalla miellyttävä silmälle.

Suunnittele mittalukusuhteen 1,618 (kultainen leikkaus) avulla ja yleisesti kokonaisuuksia 1,25 – 1,6 mittasuhteessa. Tutustu myös tuoteluetteloihin havaiten terästen ja komponenttien sisältävän ko. mittasuhteen. Näin teräsprofiilit ja komponentit ohjaavat mittasuhteita suunnitteluun. (342)

18.   TUOTEARVOAVARUUS

Arvoavaruuden käsite syntyi tuotteiden suunnittelun yhteydessä, käytettäessä järjestelmällistä menettelyä tuoteperheiden suunnittelemiseksi. Suunnittelin tuotteita tietokoneen avulla 80-luvun alkupuolelta lähtien. Aluksi pienten ohjelmapätkien avulla laadituista tuotteista syntyi johdonmukainen kokonaisuus.

Käsite tuotearvoavaruus oli välttämätön laskennan kannalta. Ajatus perustuu havaintoon lainalaisuudesta maailmankaikkeudessa ja tämän liittyessä koneenrakennukseen. Ajatus irrallisesta maailmankaikkeudesta koneenrakennuksessa, on kuolleena syntynyt ajatus. Fysiikassa tunnetusti voi muuttaa arvoja yksiköiden välillä, suhdelaskennan jäämättä tästä ulkopuolelle. Vain gravitaation kohdalla, tiede on voimaton sitä täysin selittämään. Suhdelaskenta perustuu suurelta osin gravitaatioon, pyrkimättä selittämään ilmiötä. Paljon sen luonteesta saa kuitenkin selville suhdelaskennan avulla.

Kokemuksen lisäksi tarvitaan jonkin, jolla havaitsee tuotearvovaruudesta heijastuvan tiedon(valon). Kehitin tähän tarkoitukseen tuotekehitysohjelmiston, joka kerää ja tuottaa tietoutta tuotesuunnitteluun. Menettely kokoaa hajallaan olevaa tietoa ja keskittää kerätyn tiedon uuden löytämiseksi. Suhdelaskenta on menettelyn esiintuoma kokonaisuus. Tuotteisiin perustuva laskenta on kiistämätön tosiasia. Jatkona tälle on vastaava käsittely fysiologiaan ja fysiikkaan. (220)

19.   PAINOVOIMA LUJUUSLASKENNASSA

Taipuma on kuormituksen varjo. Oletamme järjen vastaisesti kaupallisten tuotteiden olevan suoria. Suora tai avaruudellisesti tasomainen pinta on vaikea maan päällä. Suhdelaskennan avulla on kuitenkin mahdollista määrittää taipumia ja paljon muuta. Fysiikan, fysiologian ja lujuuslaskennan mukainen taipuma, ovat lopulta ekvivalentteja eli samaa tarkoittavia. Taipumalla on nimityksiä, kuten aikadilaatio, vanheneminen ja väsyminen. Tässä yhteydessä pysyttäessä teräksessä, painovoima on kaikkien ilmiöiden takana. Maa vetää puoleensa.

Kuormituksen varjo

Ilman painovoimaa mikään ei taivu tai väsy kuormitettuna. Kaikki leijuisi painottomassa tilassa, eikä olisi kitkaa. Kitka käsitteenä on laajempi, kuin kitka kahden materian välissä. Kitka vaikuttaa kaikkeen ja laskemme tehtäviä maailmankaikkeuden kitkarvoon 1,03(3) perustuen. Muuten, ei näitä kykene laskemaan. Painovoima vaikuttaa kaikkeen, joten on oletettavaa pystyä laskemaan asioita keskenään, kuten energiaan liittyviä laskelmia voi laskea. Vesiputouksen voima on mahdollista laskea sähköenergiaksi ja päinvastoin jne.

Viisikulmio kuvaa painovoiman g maapallolla

0,618 + 0,3633 = 0,9813

Arvo 0,9813 on painovoima 9,82 m/s². Suhdelaskenta ei ole kaavoja, joten älkää miettikö desimaaleja. Miettikää, kuinka yksinkertaisella tavalla luonto esittää painovoiman. Arvon muodostuminen siirtyy esitettäviin kuvioihin, esimerkiksi täysikulma radiaaneina. (605)

 2 pii rad x 1,25²  =  6,28 x 1,25²  =  9,813

20.   HOOKEN LAKI

**********************************************************

Englantilainen fyysikko Robert Hooke (1635 – 1703) keksi 1660 materiaalilain

(sigma = E · epsilon) ơ = E ε, jota nykyään kutsutaan Hooken laiksi. Vuonna 1676 hän esitti sen anagrammin muodossa ceiiinosssttuv. Kaksi vuotta myöhemmin hän julkaisi tälle ratkaisun ”ut tensio sic vis” eli ”muodonmuutos on verrannollinen voimaan”.

**********************************************************

Hooken laista näkee sauvan pidennyksen olevan suoraan verrannollinen venyttävään voimaan ja sauvan pituuteen ja kääntäen verrannollinen poikkipintaan ja neliömomenttiin.

Haluttaessa laskea jännitys rakenteen tietyssä pisteessä, on tarkistettava, voiko muodonmuutos tapahtua tässä pisteessä vapaasti, jolloin kaava on voimassa.

Materiaalin elastisella alueella, muodonmuutos on suhteessa jännitykseen. Tuntemalla jännityksen, tuntee muodonmuutoksen, joka venyttää ja puristaa kappaletta kokoon. Tämä on myös taipumaa, joka laajennettuna on maailmankaikkeudellinen laki mm. fysiologiaan. Laskemme tätä myöhemmin lujuuteen liittyvänä.

Hooken kokeellisesti määritetyn lain voi esittää:

Lσ = tangon pidentymä /lyhentymä

σ   = jännitys yleisesti

F   = voima (kN)

L₀  = tangon alkuperäinen pituus

A   = poikkileikkauksen pinta-ala (cm²)

E   = Neliömomentti (20 600 kN/cm²)

Example 1

A = 1 cm²          L₀ = 100 cm         F = 1 kN

Esimerkki 2

Paljonko terästanko venyy, jonka poikkileikkaus on 12 cm², pituus 18 metriä ja voima 42,5 kN.

a)

Vetorasitus

Vetorasitus tai yksinkertaistaen jännitys rinnastetaan kuormaan yksikköpinta-alaa kohti tai voimana kN kohdistettuna kohtisuoraan poikkipinta-alan neliösenttimetriä kohti. Alkuperäiset yksiköt olivat erilaiset, mutta idea oli Hookella sama vuonna 1687.

Kuormitus yksikköalaa kohden

Esimerkki 1

12 cm² poikkileikkaukseen  vaikuttaa 42,5 kN normaali voima, mikä on jännitys?

σ = 3,54 kN /cm²

ε (epsilon)  Venymä sauvaa puristettaessa tai vedettäessä

Jännitysvenymä tangossa per yksikköpituus

ε = σ  / E

Yhtälöissa esitettynä yllä Hooken lain mukaan elastiselle materiaalille; jännityksen alainen venymä on suhteessa vaikuttavaan voimaan. Jännityksen poistaminen johtaa vähitellen metallin palaamisen alkuperäiseen muotoon ja mittoihin.

22.   KAPPALEEN VAPAA PUTOAMINEN

Taipumasuhde 1/1000 on kannattajan perusjäykkyys taivutuksessa, jolloin arvoja voi laskea ristiin fysiologian kanssa. Esimerkkinä 10 mm (1 cm) pyörötangon staattiset arvot. Kuvitelkaa kuvaan pyörötanko. Pyörötanko 10 mm on laskennan perustana oleva pienin pyörötanko, määrittäen muiden pyörötankojen arvot.

Taipuma 1:1000

Osana näkemisen geometriaa

0,0982 cm x 100  = 9,82 m/s²

Painovoima maan pinnalla

0,0491 cm x 100 = 4,91 m

Vapaa putoamismatka maan pinnalla yhden sekunnin aikana

Näette pyörötangon staattisten arvojen suhteen vapaaseen putoamiseen. Kaikki on vapaata putoamista, sen estämistä tai kitkaa putoamisen estämisestä liikkeessä. Siksi, kaikki on samaa tarkoitavaa. (661)

Fysiikka - Fysiologia - Materia ja lujuus

Näkemisen geometriaa

24.   TERÄKSEN OMINAISPAINO

24.1   Ympyrä ja ellipsi

Yksikköympyrän (1) pinta-ala määrittää teräksen ominaispainon. Ympyrän sisään piirretyt kuviot kultaisen leikkauksen suhteessa, määrittävät teräksen mekaaniset ominaisuudet.

24.2   TERÄKSEN YKSIKKÖYMPYRÄ JA ALUMIINI

Laskennan materiaali on teräs. Alkuräjähdyksen yhteydessä syntynyt alkumetalli, sisältäen laskennan perustan.

a) raudan ominaispaino on 7,87 g/cm³.

b) teräs on rautaa, josta on poistettu hiiltä. Hiiltä on muutama prosentti, jolloin ominaispainon arvo 7,87 g/cm³ on toimiva.

Teräksen ominaispaino ja yksikköympyrän pinta-ala ovat määritettäviä kertoimen 1,618 avulla luvusta 1.

6,181 x 1,618 = 10            =            0,6181 x 1,618 = 1

Yksiköillä laskennassa ei ole merkitystä, niiden ollessa ihmisten keksimiä. Tässä tapauksessa ohjelma laski painon grammoina, jolloin ajatellaan luvut arvoiksi 0,6181 ja 1. Tämä on samalla hyvä harjoitus arvoihin. Laskettavan ei tarvitse olla terästä. Laskemme alumiinisen levypalan painon teräksen ominaispainon perusteella. Alumiinin ominaispaino on 2,7 g/cm³.

1,618 / 0,618 x 1,034 = 2,70

Gravitaation 9,82 m/s² kautta

1,618 /(0,618 x 9,82) x 1,034 = 0,275

Käymme läpi koko matemaattisen paletin, alkaen teräksen palasta, kuten kuvassa ja lopetamme lopputuotteen arvojen muodostukseen. Tämä vaatii ainoastaan malttia ja ajattelutavan yksinkertaistamista. Kuinka välttämätöntä on laskea alumiinin paino esitetyllä tavalla, on toinen tarina.  (209)

25.   VOIMAT AINEESSA

Ennen laskemisen aloittamista on hyvä tutustua voimiin.

25.1   Puristus

Puristettaessa ainetta, siihen muodostuu puristava jännitys. Valokuvassa pystysuuntainen puutavara on puristavan voiman alainen.

==>  <==

25.2   Veto

Vedettäessä ainetta, siihen muodostuu vetojännitys. Valokuvassa kattoristikon vaaka-suora puutavara vastaanottaa vetävän voiman.

<==>

25.5   Leikkaus

Ainetta leikattaessa, syntyy leikkausjännitys. Esimerkkinä leikattaessa paperia saksilla tai akseli vääntöjännityksen alaisena.

                                                           ==> II

                                                                   II  <==

Nämä ovat viisi puhdasta voimaa, joita seuraa voimakombinaatioita.

25.6   Kiepahdus voimayhdistelmänä

Taivutettaessa ainetta ja saman aikaisesti vääntämällä, kappale nurjahtaa. Esimerkkinä ulokekannattaja, vaikutettuna sen päähän kohdistuvalla voimalla tai voimilla.

                                   II    II                                                   II F

                                  ===========================

                                   II    II

25.7   Nurjahtaminen voimayhdistelmänä

Puristettaessa tankomaista kappaletta, syntyy puristava voima taivuttaen tankoa sivulle päin. Tietyllä voimalla kappale menettää vakavuutensa ja nurjahtaminen tapahtuu. Valokuvassa pystysuorassa puutavarassa on puristava jännitys, joten nurjahdus voi tapahtua.

25.8   Levyn lommahtaminen voimayhdistelmänä

Kuvaavana tapahtuma, levystä muovattu kappale nurjahtaen. (217)

30.   PAINOVOIMAN SUURUUS MAAPALLOLLA

Painovoiman suuruus vaihtelee eri puolilla maapalloa ja on syy kiihtyvyyden g 9,82 m/s² eri arvoille kirjallisuudessa. Asun alueella, joka on merkitty ristillä valokuvaan. Keltaiseksi merkityllä alueella on alhainen painovoiman arvo ja valtamerien alueilla (siniseksi merkityt alueet) suurin. Muistamme maapallon kuvatun pyöreäksi kuten pallo, mutta missä määrin?  Laskenta käyttää kaksiulotteista pyöreää yksikköympyrää teräksen (raudan) ominaispainon kuvaamiseen. Tämän jälkeen kolmeulotteinen pallo määrittää painojälkenä teräksen kovuuden. Nämä perustuvat laskettavaan pinta-alaan.

                            Putoamiskiihtyvyys 9,82 m/s² putoamisliikkeessä

   Valon nopeus (E = m) c² ja vapaan kappaleen putoamiskiihtyvyys s² ovat pinta-alaa

31.   TAIPUMAN VARJO

Kuormitetusta kannattimesta, voi etukäteen laskea taipuman, jännitykset jne., jolloin laskimessa nähtävää laskentatulosta pidetään selviönä. Silti ei ole kauan aikaa, kun tämän kaltaista lujuuden laskenta ei ollut mahdollista. Ajateltaessa asiaa, taipuma on kuormituksen aiheuttama varjo, jonka näkee suuremman kuvan kannatinpalkin alla. Riippuu valon suunnasta, näkeekö taipuman varjon tai ei. Asioiden tarkastelemisessa on samoin, riippuen katsojan näkökulmasta tarkasteltavaan.

Painovoima taivuttaa kannattajaa, jolloin kyse on voimasta. Joskus käytämme voiman yhteydessä nimitystä energia. Energian muunnokset ovat tunnettua, mutta onko taipumalla samaa merkitsevyys muihin asioihin? Varjot ovat yleisesti jotakin, jota ei voi koskettaa. Laskennan tulos on tällainen varjo, taipumaviiva. Näistä varjoista on osittain kyse sivuillani. (786)

32.   VARJO PASCALIN KOLMION TAKANA

1.   Varjot suhdelaskennassa

Laskennassa käytetty termi "varjo" tarkoittaa jotakin todellisesta syntynyttä arvoa, joka on näkymätön. Arvo saadaan esiin valottamalla varjoa suhdelaskennan tarjoamalla mahdollisuudella. Albert Einstein toi tämän mahdollisuuden esiin teoriallaan suhteellisuudesta, joka tiivistyy kaavassa.

E = m c²

Liikemäärä p muuntuu Lorenz-muunnoksessa tekijällä 1/L, kun L = sqrt (1-( v/c )²)

==>    aikadilaatio 1,0328 valonnopeudella 0,25 c

1d x 2d x 3d x aikadilaatio = 2

1,25 x 1,25 x 1,25 x 1.0328 = 2

1d = yksiulotteinen halkaisija

2d = kaksiulotteinen poikkileikkaus

3d = kolmeulotteinen kohde

Elämme kolmeulotteisessa maailmassa, jolloin Pascalin kolmion rivikerroin 

1,1 = 1,0328³ = 1,1

2.   Pascalin kolmio kaiken takana

Kurkistamme Pascalin kolmion taakse näkemisen geometrian ja laskukoneen avulla. Alla oleva Pascalin kolmio on looginen viidenteen riviin saakka, mutta ei tästä eteenpäin. Viides rivi on suhteellisuusraja ilmiöissä, joten Pascalin kolmio on looginen tässä mielessä. Laskin antaa kuudennelle riville arvoksi 1,1 x 1,4641 = 1,61051. Kuudes rivi vastaa arvoltaan kultaista leikkausta 1,61(8), jonka merkitys ilmiöiden kannalta on jäänyt EP-laskennan tehtäväksi. Tehdään laskelma, jossa kannattajan pituus kasvaa 1,1 kertaiseksi suhteellisesta pituudesta 1,4641. Molemmat aloitusrivit ovat tummennettu alla olevissa kolmioissa (HEB 100 ja Pascalin kolmio).

3.   Kuorma 1 kN

Laskelmassa kuorma on vain 1 kN eli noin 100 kg. Kuorma on pieni, jotta se vastaa ihmisen painoa. Tämän jälkeen ilmiöitä voi laskea ristiin teräksen ja fysiologian kanssa. Onhan laskennan periaate samaa tarkoittava suhdelaskenta. Periaatteen opittua laskentaan, kuormat ja jännevälit voivat olla mitä vain, mutta ei vielä tässä vaiheessa, kun periaate ei ole selvillä. Siksi ette laske vain lujuutta, vaan samalla tarkastellaan ihmisen fysiologiaa.

4.   Laskeminen

4.1  Teillä on kaavat ja laskukone kannattajien taipumien laskemiseen. Ennen kuin olette laskeneet kannattajien taipuman kuormasta ja omasta painosta, tähän on kulunut aikaa. Siksi kannattajan oma paino usein jätetään laskelmista pois. Tämä on puolestaan virhe, joka saattaa kostautua kalliisti tietyissä tapauksissa.

4.2   Suhdelaskenta ei tarvitse kaavoja, mutta tarvitsee laskimen. Perinteinen laskutapa on työläs, eikä ole ainoa vaihtoehto. Suhdelaskennassa taipuma huomioidaan kuormasta ja kannattajan painosta syntyvänä, joka on edistyksellinen tapa laskea.

4.3   Niille, joille taipuman laskeminen on vaikeaa ilmiöiden kautta tarkastellen, on helpoin tapa klikata yllä olevaa valokuvaa ja lisätä Excel-taulukkoon tarvittavat tiedot. Voitte näin tarkastella saman, joka on esitetty kolmioissa alla. Laskenta (EX141) huomioi ainoastaan kuormasta aiheutuvan taipuman.

Pituus                                  Pascalin kolmio               Taipuma

HEB 100 -1                                      1

HEB 100 -1,1                              1       1

HEB 100 -1,21                         1      2       1

HEB 100 -1,331                     1    3      3      1                  (kerroin 1,331)

HEB 100 -1,4641                1     4     6     4      1

HEB 100 -1,61051           1    6      1     0      5     1

HEB 100 - 1,771561     1    7     7      1     5      6     1      1,7367 cm/1,3048 cm = 1,331

           918 cm            ====================     1,7367 cm     1,331  jne.  - etc.

           834 cm                =================       1,3048 cm     1,331

          758 cm                   ==============           0,9803 cm     1,331

          689 cm                     ============              0,7366 cm     1,331

          627 cm                         =========                0,5534 cm     1,331 

          570 cm                          =======                   0,4158 cm     1,331 x 0,3124 = 0,4158

          518 cm                               ===                       0,3124 cm         -     

            1,1                              Kertoimet                                        1,331

Pascalin kolmio pyramidina heittää riviarvojen päälle varjon, joilla voi laskea kannattajan taipuman, mutta myös muita asioita. Tämä on jotakin, jota ette ole luultavasti koskaan tehneet. (762)

33.   TAIPUMAN NELJÄS ULOTTEISUUS

Taivutettavassa kannattajassa on kolme käsin kosketeltavaa ulotteisuutta (leveys - korkeus - pituus) ja yksi käsin koskettelematon (aika).

Ulotteisuus avaruudellisesti määritetään pienimpänä määränä koordinaatteja, jotka tarvitaan pisteiden sijainnin erittelemiseen siinä.

Otetaan esimerkki, jossa tulee esiin neljäs ulotteisuus. Puusta tehtyä kannattajaa kuormitetaan nimellisellä kuormituksella. Vuoden päästä puinen kannattaja on taipunut kuormasta, mutta olisi tehnyt sen myös omasta painostaan. Ulottuvuuksista kolme ovat tunnettua, mutta puun yhteydessä taivuttava aika on tunnistamaton. Teräs sen sijaan, ei taivu itsekseen omasta painostaan, edes pitkän ajan kuluessa. Edellinen, kun jännitystaso materiassa on hyväksyttävällä tasolla. Taipuma on varjo neljännestä ulottuvuudesta, jonka voi nähdä, kykenemättä sitä laskemaan. Käytännössä neljättä ulotteisuutta ei tarvitse huomioida teräksen yhteydessä. Väsymisen yhteydessä toistojen määrä ratkaisee, ei käytetty aika. (395)

34.   TAIPUMINEN YLEISESTI

Fysiikkaa ja fysiologiaa ymmärtämättä, ei ymmärrä taipuman olemusta. Se on vaikeaa, sillä fysiikka ei opeta taipumaa. Taipuman katsotaan liittyvän lujuuden määrittämiseen, joka kuuluu insinöörikoulutukseen. Silti, taipuma liittyy teoreettisiin oppiaineisiin, kuten se liittyy tunnetuinpaan energian kaavaan. Energian kaavojen kautta on selitettävissä myös urheiluun liittyviä kysymyksiä. Fysiologinen taipuma lisää suorituksen aikaa, jonka voi osoittaa aikadilaationa.

Yksinkertaistaen, kappaleen taipuma aiheuttaa venymän ja kutistumisen, jonka ulkoinen ilmentymä on kappaleen muodonmuutos. Tästä sanotaan kappaleen taipuvan. (678)

Taipuman määrittämiseksi tulee tietää;

a) Tukipisteiden lukumäärä

b) Kuorman jakautuminen, esimerkkeinä;

    - pistemäinen kuormitus

    - tasaisesti jakautunut kuormitus

35.   STAATTISET ARVOT POIKKILEIKKAUKSILLE

Ajattele teräsprofiilien poikkileikkaukset siten, että kävellessäsi niiden yli, ne kaikki tuntuvat samoin taipuvilta. Valitse vahvempi profili, jos se taipuu liikaa ja heikompi, jos profiili ei taivu tarpeeksi. Olemme silloin koko ajan samassa taipumasuhteessa. DIN 1025 - Euronorm 53-62 mukainen HEB 100 muototeräs on laskennan lähtökohta. Esimerkkinä HEB100 I-profiili, mutta sama koskee myöhemmin muita poikkileikkauksia.

Kuormitustapaus 1

Kuorma 1 kN vastaa monen meidän painoa, ainakin kantamus käsissä. HEB100 teräsprofiili taipuuu 0,518 cm (taipumasuhde 1:1000), 1 kN kuorma, jänneväli 518 cm. Lukuja ei tule tarkastella liian tarkasti.

DIN 1025 - Euronorm 53-62

HEB 100  =>   F1:1000 = 0,518 cm

Taulukossa ovat staattiset arvot niille, jotka haluavat tarkistaa laskennan perinteisesti. Taipumassa on kannattajan paino ja kuorma. Tämä on ainoa tapa laskea yhdellä kertaa todellinen taipuma.

Profiili      L1000      σ_t            Ix          Wx           Iy         Wy

Nimike       cm      kN/cm²     cm⁴          cm³           cm⁴      cm³      kg/m    A cm²

HEB100      518         2,2         450          90         167       33,5       20,4      26

HEB120      644         2,1         864        144         318       52,9       26,7      34

HEB140      761         2          1510        216         550       78,5      33,7       43

HEB160      868         2          2490        311         889       111        42,6      54,3

HEB180      968         2          3830        426       1360       151        51,2      65,3

HEB200     1062        2          5700        570       2000       200        61,3      78,1

HEB220     1150        2          8090        736       2840       258        71,5       91

HEB240     1235        2        11260        938       3920       327        83,2     106

HEB260     1316        2        14920      1150       5130       395        93        118

HEB280     1394        2        19270      1380       6590       471      103        131

HEB300     1468       2,1       25170     1680       8560       571      117        149

HEB320     1534       2,1       30820     1930       9240       616      127        161 

Kimmokertoimen arvo on 20 600 kN /cm². Kirjallisuudessa myös 20600 - 21 000  kN /cm². Käytettäessä arvoa 21 000 kN/cm², kasvaisi HEB100 L1000 518 cm => 523 cm. Taivutusjännitys σ_t säilyy molemmissa samana. Käytännössä taulukon arvot ovat samat molemmilla kimmokertoimien arvoilla, sillä 1 % muutos arvoissa ei paljon merkitse. (441)

36.   HEB I- profiilien staattiset arvot

Leveälaippaista I-Palkkia DIN 1025 - EN10034, erityisesti kokoa HEB100 käytetään asioiden vertailuun. Profiilien koot ovat myös laskennan kertoimet.

           1,00 - 1,25 - 1,60 - 2,00 - 2,50 - 315

HEB    100 -  120 - 160 -  200  -  240 -  320                                                   Koko

                       1.       2.       3.       4.        5.                              Kerroin          (1,06)

1,00 - 1,25 - 160 - 2,00 - 2,50 - 3,15 - 4,00 - 5,00 - 6,30 - 8,00 - 10,00          (F kN)

             1.       2.      3,       4.        5.       6.       7.       8.       9.       10.             (1,1)

                                                    Ix         Wx          Iy         Wy                     A

     Nimike        cm     kN/cm²    cm⁴       cm³         cm⁴       cm³      kg/m      cm²   

    * HEB100      518      2,2       450          90         167       33,5      20,4      26,0

1.   HEB120      644       2,1       864        144         318       52,9      26,7      34,0

      HEB140      761       2        1510        216         550       78,5      33,7      43,0

2.   HEB160      868       2        2490        311         889       111       42,6       54,3

      HEB180      968       2        3830        426       1360       151       51,2      65,3

3.   HEB200     1062      2        5700        570       2000       200       61,3      78,1

      HEB220     1150      2        8090        736       2840       258       71,5       91,0

4.   HEB240     1235      2      11260        938       3920       327       83,2     106,0

      HEB260     1316      2      14920      1150       5130       395       93,0      118,0

      HEB280     1394      2      19270      1380       6590       471     103,0      131,0

      HEB300     1468     2,1     25170     1680       8560       571     117,0      149,0

5.   HEB320     1534     2,1     30820     1930       9240       616     127,0      161,0

Taulukkoa luetaan siten, että vasemmalla on profiilin koko (korkeus), esimerkiksi HEB100.

HEB100 518 cm kertoo profiilin jännevälin, jossa se taipuu taipumasuhteessa 1:1000, kannattajan keskellä vaikuttaessa pistemäinen kuormitus 1 kN (102 kg). Taipuma on siten 518 cm / 1000 = 0,518 cm.

Vastaavasti HEB320 palkki taipuu 1,53 cm, kun jänneväli on 1534 cm (15,34 m).

Jännitystaso on kummassakin tapauksessa 2,1 - 2,2 kN/cm². Taulukon muut arvot ovat tuttuja. Taivutuksen kaavat eivät kysy kappaleen poikkileikkauksen muotoa.

Taipumasuhde 1:1000

* Profiilien poikkileikkaukset dwg-formaatissa. Piirustukset voi avata ilmaisohjelmilla. Niitä voi käyttä kaksiulotteisiin ja kolmeulotteisiin piirustuksiin.

Yllä olevan taulukon voi ajatella näin. Painat 1 kN eli noin 100 kg ja olet ylittämässä jokea, jonka leveys on 14 metriä. Tarvitset ylittämistä varten sopivan kannatusprofiilin. Silloin voi hyvin ajatella, että profiili HEB280 on sopiva, sillä se taipuu jännevälillä 14 metriä (1394 cm) 1:1000 taipumasuhteella. Kävelyyn soveltuva silta voi tosin taipua enemmänkin, jolloin esimerkki kuvaa suuruusluokkaa josta tarkempi tarkastelu alkaa. Myöhemmin kaikki kuormitukset ovat johdettavissa taulukon arvoista tai vain yhdestä profiilista muiksi profiileiksi ja kuormituksiksi. (795)

37.   HEB POIKKILEIKKAUKSIEN PINTA-ALAT

HEB on laskennan poikkileikkaus, jolla osoitetaan muiden vastaavien poikkileikkauksien käyttäytyminen. Tämä on näkemisen geometriaa, jossa ei tarvitse osata laskea. Havaitsette lukujonon ja poikkileikkausten vastaavuuden. Tämä on tapa laskea lujuutta ja määrittää tuotteita. (770)

  1,00 - 1,25 - 1,60 - 2,00 - 2,50 - 3,15 - 4,00 - 5,00 - 6,30 - 8,00 - 10,0  -12,5 - 16,0

A cm²                                  26   -   34   -  43  -  54,3 - 65,3 - 78,1 - 106  - 131  - 161

Nimike        cm      kN/cm²     cm⁴           cm³           cm⁴        cm³       kg/m     A cm²

HEB100      518         2,2         450          90         167       33,5       20,4      26

HEB120      644         2,1         864        144         318       52,9       26,7      34

HEB140      761         2          1510        216         550       78,5      33,7       43

HEB160      868         2          2490        311         889       111        42,6     54,3

HEB180      968         2          3830        426       1360       151        51,2     65,3

HEB200     1062        2          5700        570       2000       200        61,3     78,1

HEB220     1150        2          8090        736       2840       258        71,5      91

HEB240     1235        2        11260        938       3920       327        83,2    106

HEB260     1316        2        14920      1150       5130       395        93       118

HEB280     1394        2        19270      1380       6590       471      103       131

HEB300     1468       2,1       25170     1680       8560       571      117       149

HEB320     1534       2,1       30820     1930       9240       616      127       161  

38.   HEB I-PROFIILIEN 1 KN KUORMAN KANTAMINEN

Leveälaippainen I-Palkki DIN 1025 - EN10034. 

1.1   Taulukoitu jänneväli taipumasuhteessa 1:1000

                        L cm              Kuorma 1 kN                                   

HEB100           518                Tunnettu arvo  taipumasuhteella 1:1000

HEB120*          644               1,25 x 100 = 125

                                              1,25  x 518 cm   =  647 cm

HEB140           761                Jänneväli 761 cm, kun taipumasuhde 1:1000

                                              1,12 x 647 cm = 724 cm

HEB160           868               1,25 x 125 x 1,03(28)** = 160 mm

                                              1,25  x 647 x 1.03 cm  =  833 cm

                                               1,25 x 1,25  x 1,0328 = 1,618

HEB180           968                jänneväli 968 cm, kun taipumasuhde 1:000

                                              1,12 x 833 cm = 933 cm

HEB200         1062                1,25 x 160 = 200 mm

                                               1,25  x 833. cm  =  1041 cm

HEB220         1150                1,12 x 200 = 220 mm

                                              1,12  x 1041 cm =  1166 cm

HEB260         1316                (240 + 260) /2 = 250 = 1,25 x200

                                               1,25  x 1041 cm = 1301 cm

                                               Laskelma on tarkka tähän saakka

________________________________________________________________

* Standardit eivät tunnista kokoa 125 mm, joten tätä vastaa koko 120 mm. I-profiilin korkeus 120 mm on pienempi kuin suhteellisuuden määrittämä 125 mm. Tästä huolimatta virhe jännevälin pituuteen on vain 3,5 cm eli suhteellinen virhe 0,0054.

** Staattisen kitkan kerroin toisin sanoen aikadilaation kerroin 1,0328 valon nopeudella 1,25 ei voi sisältää useita desimaaleja tämän kaltaisessa laskennassa, joten kahden desimaalin tarkkuus on riittävä.

Kuorma 1 kN

4.  Pascalin kolmion viides rivi

1,4641 x 1,1 = 1,6105

5.  E = m c²

Liikemäärä p muuntuu Lorenz-muunnoksessa tekijällä 1/L, kun L = sqrt (1-( v/c )²)

==>    aikadilaatio 1,0328 valonnopeudella 0,25 c

1d x 2d x 3d x aikadilaatio = 2

1,25 x 1,25 x 1,25 x 1.0328 = 2

1d = yksiulotteinen halkaisija

2d = kaksiulotteinen poikkileikkaus

3d = kolmeulotteinen kohde

Elämme kolmeulotteisessa maailmassa, jolloin Pascalin kolmion rivikerroin 

1,1 = 1,0328³ = 1,1

6.   Ulotteisuudet laskennassa

                           1

 1d                 1         1                                               Pituus

 2d            1,       2        1        x  1,03 = 1,25             Pinta-ala

               Pascalin kolmio

Pinta-alan kerroin x staattisen väsymisen kerroin = yleinen väsymisen kerroin 1,25.  (803)

39.   STAATTISET ARVOT SEINÄMÄN PAKSUUDESTA

Varastossa on putkipalkki 200x200x5, jonka staattisia arvoja, tällä kertaa painoa ei tiedetä. Määrittämiseen riittää työntömitta seinämän paksuuden 5 mm ja ulkomittojen 200 mm mittaamiseen, sekä laskin. Se, mikä tiedetään on rakenneputki 200x200x12,5 paino 88,4 kg/m. Mikä on poikkileikkauksen 200x200x5 paino?

Aikadilaatio
 

Monet eivät ole laskeneet aikadilaatiota. Silti tiedetään kaiken johtavan energiakuplaan kauan sitten. Tästä johtuen lasketaan putken paino energian avulla ja on syy yllä olevaan taulukkoon. Samaa tarkoittavuus asioissa on aikadilaatio, jota ilman useita asioita ei voi laskea samaa tarkoittavana. Taulukkoa käytetään myös aika-avaruuuden käyristymisen ja massan muutoksien laskemiseen. Tämä tarkoittaa, suuren mittakaavan ilmiöiden sisältyvän pienen mittakaavan ilmiöihin. (841)

Putkipalkin paino 200x200x5

Putki                                     Paino kg/m                 Laskettu paino kg

Tube 200 x 200 x 5                   38,1                          88,4/1,25⁴ x 1,033 = 37,4

Tube 200 x 200 x 6,3                47,4                          88,4/1,25³ x 1,033 = 46,8

Tube 200 x 200 x 8                   59,2                          88,4/1,25² x 1,033 = 58,4

Tube 200 x 200 x 10                 72,6                          88.4/1,25  x 1,033 = 73,1

Tube 200 x 200 x 12,5              88,4                          Tunnettu arvo

Item                                 Poikkileikkauksen           Laskettu pinta-ala

Putki                            taulukoitu pinta-ala cm²     cm²

Tube 200 x 200 x 5                  29,9                          69,4/1,25⁴x 1,033 = 29,4

Tube 200 x 200 x 6,3                37,2                          69,4/1,25³ x 1,033 = 36,7

Tube 200 x 200 x 8                   46,5                          69,4/1,25² x 1,033 = 45,9

Tube 200 x 200 x 10                 57,0                          69.4/1,25  x 1,033 = 57,4

Tube 200 x 200 x 12,5              69,4                          The known value

Kaupallisten putkipalkkien seinämäpaksuudet muodostuvat suhdelaskennan suhdeluvuista.

1,25  -  1,6  -  2  -  2,5

6,3 - 5,0 = 1,3 mm (1,25)

                8,0 - 6,3  = 1,7 mm (1,6)

                                      10,00-8,0 = 2 mm (2)

                                                     12,5 - 10,00 = 2,5 mm (2,5)

40.   SALLITUT JÄNNITYKSET, TERÄS

Suhdelaskennan ajatuksena, tuntemalla kuormitustapauksen, muut 20/80 säännön mukaisesti ovat tunnetut. Kuorman suuruus (nuolen koko) tai Kuorman (nuolen) paikka voi vaihdella. Kuormitus voi muuttua tasaiseksi kuormaksi palkin päälle ja profiili voi muuttua, samoin tukien lukumäärä ja asema voivat muuttua. Silti tiedetään yksinkertaisella tavalla muutos arvoissa. Laskennan ymmärtäminen ei ole mahdollista ilman paneutumista voimien käyttäytymiseen aineessa.

Laskennan taivutuksen peruskuormitustapaus on kaksitukinen kannatin, jossa pistekuormitus vaikuttaa keskellä.

Kannattajan poikkileikkauksen ollessa symmetrinen, sen keskellä kulkevan neutraaliakselin kohdalla taivutusjännitys on nolla. Tästä syystä profiiliin porattavat aukot ja reiät on edullista tehdä profiilin keskelle, jolloin niillä ei ole suurta vaikutusta poikkileikkauksen lujuuteen. Tämä tilanne syntyy kannatuspalkkien yhteydessä, joissa putket viedään poikkileikkauksen keskeltä läpi. Kuvan kannattajan keskikohdan jännitysten pystysuora energiatason kuvaus on 1 (+) - 0 - 1 (-), tarkoittaen => keskellä kannattajaa on pienin normaalijännitys. Siinä missä taivutusjännitys on maksimissa, leikkausjännitys on minimissä.

40.1   Jännitysten suuruus

Rakenteeseen syntyvät jännitykset eivät saa muodostua liian suureksi, vaarana on rikkoutuminen tai liian suuri muodonmuutos. Rakenteet mitoitetaan siten, etteivät jännitykset ylitä sallittua jännitystä. Sallituksi jännitykseksi staattisen kuormituksen yhteydessä valitaan tietty osa käytetyn materiaalin murtojännityksen tai myötörajan arvosta. Myötörajaan mitoittaminen on käytetympi ja suhdelaskennan mukainen mitoittamistapa.

σ _{sall  =}   σ _M  / n                    mitoitus murtolujuuteen

σ _{sall  =}   σ _m  / n                    mitoitus myötörajaan

n = Varmuusluku

40.2   Väsyttävän kuormituksen yhteydessä

                                            σ _{sall  =}   σ _W  / n

                                            σ _{sall  =}   σ _T  / n

σ_W                      Vaihtolujuus

σ_T                       Tykytyslujuus

(324)

41.   TERÄKSEN ISKULUJUUS

Iskulujuus tarkoittaa sovitun muotoisen koekappaleen katkaisemiseen tarvittavaa energiamäärää iskumaisella kuormituksella. Siksi vain samanlaisilla sauvoilla tehdyt kokeet ovat vertailukelpoisia, iskulujuuden riippuessa koekappaleen muodosta. Tunnetetuin muoto koesauvalle on Charpyn U-sauva, jossa kokeessa heilurina toimiva vasara katkaisee sauvan. Iskulujuuden määrityksessä vasaran energiahäviö jaetaan kappaleen poikkileikkauksen murtopinnalla J/cm².

Ajan myötä teräksen iskulujuus pienenee, jolloin ilmiöstä käytetään nimitystä teräksen vanheneminen. Vanheneminen ilmenee usein hitsaussaumojen lähellä murtumina. Murtuma esiintyy toisinaan  lyhyen ajan jälkeen hitsauksesta, toisinaan vasta vuosien kuluttua. Murtumista tapahtuu etenkin huonojen teräslaatujen yhteydessä, josta syystä terästä valittaessa huomioidaan iskulujuus. Kohtalainen hitsauskelpoisuus edellyttää n. 30...40  J/cm² iskulujuutta rakenteen käyttölämpötilassa, vaativissa tapauksissa jopa 80 J/cm². Tässä vaiheessa aiheen käsittelyä, energialla määritetään materiaalin iskumaisten kuormitusten kestäminen. (340)

Tanker weld fracture (source: http://school.mech.uwa.edu.au).

42.   TERÄKSEN KOVUUS JA MURTOLUJUUS

Rakenneteräs   S235                       H_B   100...125

1,0 - 1,03 - 1,06 - 1,12 - 1,25 - 1,618 - 2,0 ...

Suhdelaskenta käyttää S235 teräslaadun kovuuden vaihtelun keskiarvoa HB 112 kN/cm², joka vastaa suhdelukua 1,12. Yleisesti rakenneteräkset ovat toinen toista kovempia ja vaihtelua on niiden sisälläkin. Kovuus mitataan painamalla sovitunmuotoista kovaa kappaletta teräksen pintaan. Painamisesta  syntynyt jälki mitataan ja tästä saadaan selville teräksen kovuus.

Terästä valmistetaan eri prosesseissa, jolloin terästen välille syntyy lujuudellinen ero, jonka voi ilmaista kovuutena. On sovittu, että tiettyä tasoa teräksen lujuus ei saa missään olosuhteissa alittaa. Näin valmistettua terästä voi käyttää luotettavien lujuustarkastelujen suorittamiseen. Suhdelaskenta vie teräksen ominaisuuksien tuntemisen uudelle tasolle. Tämän tarkoittamatta, että laskelmat olisivat tarkempia, kuin muulla tavalla suoritettuna. Suhdelaskenta kritisoi ainoastaan luotettavia ja tarkkoja laskelmia, joista myöhemmin sanotaan, hups.

Kovuusarvojen vertailu

HV                       HB           Murtolujuus N/mm²

100                      95,0                     320          Murtolujuuden suhteellinen muodostus

105                      99,8                     335          Sovittu lähtöarvo 335 N/mm²

110                      105                      350       

115                      109                      370         

135                      128                      430          1,25 x 335 x 1,03 = 431 N/mm²

160                      152                      510

190                      181                      510

210                      199                      675_____1,25³ x 335 x 1,03 = 674 N/mm²

                                                                        1,25³ = 2    samoin  199 / 99,8 = 2

           1                            1        2       3

1,25 = 1      -    1,25³ =   1,25 -  1,6  -  2,0

                                        128  - 152 -  199 (HB)

Teräksen kovuus ei ole sattuma. Tuntemalla teräksen kovuuden, tämän voi johtaa arvoiksi. Perehdyttyämme laskentaan, laskemme näistä tiedoista sallittavat jännitysarvot kuormitusten tapauksille. Voimme samalla arvioida käytettävää materiaalia ja tarvittavaa profiilin suuruutta.  (743)

42.1   TERÄKSEN KOVUUDEN KULTAINEN LEIKKAUS

Jaettaessa ympyrän pinta-ala suuremman ellipsin pinta-alalla, pinta-alat jakaantuvat kultaisen leikkauksen suhteessa 1:1,618. Ellipsin pikkuakselin pituus on kultaisen leikkauksen 1,618 suhteessa ympyrän halkaisijaan. Jaettaessa suuremman  ellipsin pinta-ala pienemmän ellipsin pinta-alalla, sisältyy myös tähän kultaisen leikkauksen suhde 1,618.

Piirrettäessä ellipsi ellipsin sisälle 1,618 suhteessa, pinta-ala on 1:2,618 edellisestä ellipsistä.

1 + 1,618 = 2,1618         1.618 x 1.618 = 2.618

Ympyrän pinta-ala on 2,0561 yksikköä

Suuremman ellipsin pinta-ala on 1,2708 yksikköä   =>  2,0561 / 1,2708 = 1,618

Pienemmän ellipsin pinta-ala on 0,4854 yksikköä    => 1,2708 / 0,4854  = 2,618

Ympyrä eli pyöreä muoto on materiaalin kovuus, ellipsit lujuutena.

 Miksi näin. Selitän sen lujuuslaskennan kautta.

Kultainen leikkaus liittyy koneiden rakennuksen yleisimpään materiaaliin, teräkseen. Kuitenkaan, emme huomaa kultaista leikkausta, valitessa teräslaatua kohteeseen tai tarkastellessa terästen lujuuksia. Teräksen vetolujuus on verrannollinen kovuuteen, siten että vetomurtolujuuteen 100 kN/cm² saakka hiiliteräksen vetomurtolujuus on 36 % ja seosteräksen 34 % Brinell-kovuudesta. Prosentuaalinen osuus on havaittu, mutta liittymistä kultaiseen leikkaukseen ei.

Suhde φ (1,618). Hiili- ja seosteräksien vetomurtolujuus saadaan varsin tarkasti jakamalla teräksen H_B-kovuus luvulla 1,618. => HB 112 / 1,618 = 69,221 => σ_M  = 112 - 69,221 = 42,8 kN/cm². Arvo 42,8 kN/cm² vastaa S235 terästälaatua, jonka taattu vetomurtolujuus on vähintään 37 kN/cm². (337)

HB = Brinell kovuus                         σM = Vetomurtolujuus

Rakenneteräs   S235                      H_B   100...125

51.   AKSIAALINEN PURISTUMA KAAVANA

                                                 Tanko  cm

                     F kN  ==>   ================   <==  kN

Suhdelaskenta tarvitsee varmaksi tiedetyn lähtöarvon.

Kaava ei vaadi alustavaa varmaa lähtöarvoa.

F = 1 kN           L = 100 cm        A = 5 cm²         ό = 0,001       E = 20 600 kN / cm⁴

Peruskuorma 1 KN

                       Pituus 100 cm on helppo muistaa

                                                                      Puristuma 0,001 cm

F =1 kN       L = 100 cm        A = 5 cm²        ό =  ?  (kysymys)

ό  =  100  cm x 1 kN x cm²     =   0,001 cm

          20600 kN x 5 cm²

Kaava laskee puristuman, tarvitsematta ymmärtää laskentaa. Kaava toimii myös venymän laskemiseen.

                                                                Tanko cm

                                           F kN  <==  ===========  ==>  F kN

(778)

52.   AKSIAALINEN PURISTUMA TANGOSSA

Aksiaalinen puristuma terästangossa kertoo, kuinka paljon pituus lyhenee tai kääntäen venyy sitä puristettaessa tai vedettäessä. Voiman ollessa 1 yksikkö, poikkileikkaus 5 yksikköä ja pituus 100 yksikköä. => suhde voiman ja aksiaalisen puristuman välillä on 1/1000. Suhteen vallitessa, muut ovat tunnetut ilman laskentakaavaa. Suhdelaskenta käyttää cm yksikköä. Laskenta perustuu Newton - gravitaatio - pinta-ala - luku viisi yhdistelmään. Eräs laskennan ominaisuus on näkemisen geometria, tarkoittaen kuvioiden ja laskelmien visuaalisesti hahmotettavaa todellisuutta. Kuvassa on laskelma, joka esittää nimitysten liittymisen toisiinsa. Riittää havaita niiden liittyminen toisiinsa suhteena. Lopulta pinta-alat ja lujuus ovat samaa tarkoittavaa. Aksiaalinen puristuma tangossa on käänteisesti venymä tangossa. Voima saa usein arvon 1(,02) kN, jonka perusteella muut kuormitukset ovat tunnetut. Suhdelaskenta käyttää teräksen kimmokertoimen arvoa 20600 cm⁴.   (156)

Klikkaa laskelmaa

53.   VAIJERIN PUUTTUVA MOMENTTI

Ohut lanka asetetaan kahden pisteen välille, joita kuvaavat pisteet A ja B.  Langan voi olettaa olevan kevyen, jolloin tukivoimat A ja B ovat pienet.

A = B = G / 2       

Jotta kevyt lanka ei riipu, sitä pitää vetää kokoonsa nähden äärettömän suurella voimalla. Langan lujuuden tulee tästä syystä olla äärettömän suuri, jotta lanka kestää vedosta aiheutuvan voiman. Tätä tilannetta ei oikeassa elämässä synny. Vastaavan kaltainen tilanne silti syntyy sähkövoimalinjoissa, joissa langat riippuvat. Ohuisiin lankoihin syntyy vetojännitys, mutta ei taivuttavaa momenttia. Langasta puuttuvan jäykkyyden seurauksena, langan mitoitus perustuu poikkileikkauksen pinta-alaan.

Poikkileikkauksessa jossa on pieni taivutusvastus, syntyy käytännössä vetojännitys. Vaijerilla ja sähkölangalla on huono kannatuskyky, puhumattakaan työntämisestä, mutta suuri vetokyky. Veto muodostaa vetojännityksen, jolloin lanka on varsin yksinkertainen mitoittaa. Kappaleilla, jolla on jäykkyys => syntyy veto- ja puristusjännitys, jotka ovat erimerkkiset poikkileikkauksen vastakkaisilla puolilla. Keskellä on neutraaliakseli, jossa jännityksen suuruus on  nolla.

Ripustettaessa valaisin epäkeskeisesti ajoradan yläpuolelle, syntyy kuvan kuormitustapaus. Suunnittelijan suunnittelun ohjelma tekee vaijereiden voimien määrittämisen  yksinkertaiseksi. Tämän jälkeen määritetään riittävä varmuus vaijerin tykyttävälle kuormitukselle. Ulkona sijaitseva valaisin kerää lunta ja tuuli heiluttaa kokonaisuutta jne. Tämä huomioidaan erityisesti lankojen päissä olevissa kiinnityksissä rakenteisiin.

Edelleen huomioidaan vaijerisakkeleiden määrä kiinnityskohdissa. Vähintään kaksi vaijerilukkoa, sekä huomioidaan korroosion vaikutus lankaan. Yksinkertainenkin mitoitus sisältää useita huomioitavia asioita, jotta suunnittelija voi nukkua rauhallisin mielin yönsä.

Laskennan kannalta ihmisen väsyminen, teräskannattajan taipuminen ja monet asiat ovat samaa tarkoittavia. Jos kannattajan päälle asetetaan suurempi kuorma => lisääntyy kannattajan taipuma. Jos ihmisen kannettavaksi asetetaan suurempi taakka => kasvaa suoritukseen käytetty aika. Aika on samaa tarkoittavaa väsymisen kannalta, sillä väsyminen lisää aikaa. Urheilijan väsymisen tason voi osittain määrittää käytetyn ajan perusteella. Toisaalta jos kannattajan pituus kasvaa kuormituksen säilyessä samana => lisääntyy tässäkin tapauksessa kannattajan taipuma. Ihmisen tapauksessa etäisyyden kasvaessa => kasvaa suoritukseen käytettävä aika. Nämä asiat ovat selviä käsitteitä, laskematta niihin liittyvää samaa tarkoittavuuksia.

Aikavertailuissa kyse on usein 1-ulotteisuudesta. Mielenkiintoisesti maantiejuoksussa aika muodostuu kaikkien ulotteisuuksien kautta (ylös  - alas - sivuille - aika(dilaatio). Vaijerin liike on edestakaista etenemää, köysipyörien välittäessä liikkeen eri ulotteisuuksien kautta kulkevaksi. Terästanko jäykkänä ja paikallaan olevana, ei omaa langan kaltaista materian ominaisuutta. Lanka ja sen mitoitus eivät ole oleellista, vaan viittaus langan puuttuvasta (vääntö)momentista. Vastaavuus syntyy juoksemisen yhteydessä, jossa ns. puuttuva momentti ei estä eri ulotteisuuksia. Tämä on laskettavaa, jolloin fysiikka ja fysiologia toteavat saman. Tähän palataan pian laskennan muodossa. (306)

54.   TERÄSLEVYN PAINO

Levyn paksuus kauppalaatuisena on samaa tarkoittavaa laskennan kanssa. Levyn muoto vaihtelee, kuten kuvissa säiliön pääty ja nosturin pääkannattaja. Levyä teoreettisessa muodossa tarvitsee suunnittelija, joka laatii työpiirustuksia teknisiin ratkaisuihin. Suunnittelijalla on nimikkeitä, jotka määrittävät laatua ja paksuuutta.

Fyysikko kysyy, mikä on teräslevyn ominaispaino ja piirtää harpilla ympyrän. Hän sanoo ympyrän halkaisijan olevan yksi (1). Levyn paksuus on samoin yksi (1). Teräksen ominaispaino on tästä laskemalla 0,785. Määrittäkää te yksiköt, sillä suhteellisuudessa sillä ei ole merkitystä.

Tieto levyn paksuudesta ja laadusta siirtyy piirustuksen osaluetteloon. Suhteellisuuden kautta arvo siirtyy valmistettavaan osaan ja lopulta tuotteeseen. Arvot ovat verrannollisia myös erisuuruisen vastaavan toiminnon omaavan tuotteen kanssa. Tulemme laskemaan tätä myöhemmin. Kuvien tuotteet ovat levyosia vaativista rakenteista.

54.1   Levyjen paksuudet

Levyn paksuuden voi laskea, jolloin ei tarvitse muistaa niitä. Tämä oli ensimmäinen tarkastelemani asia, josta mielsin suhteellisuuden asioiden kesken.

0,6 -  0,8 - 1 - 1,2 - 1,5 - 2 - 2,5  -   3  -   4 - 5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 15/16 -  20 - 25

0,63 - 0,8 -1 - 1,2 - 1,6 -  2 - 2,5 - 3,15 - 4 - 5 - 6 - 8 -  10 - 12 -   16   -  20 -  25

1,25 x 0,8 = 1                                                                1,25 x 16 = 20

Terästehtaat valmistavat levyjä kertoimella 1,25. Levyn paksuuden 0,8 mm kohdalla, on sama tarkastelemmeko 0,75 mm tai 0,8 mm levyä. Samoin levyjen paksuuksista 15 ja 16 mm. Teräslevyn paino on 3-ulotteinen, jossa muuttujia ovat paksuus, leveys ja pituus. Käytännössä paino on helppo määrittää taskulaskimella

Nyrkkisääntönä

Neliömetri 1 mm teräslevyä = 8 kg

Teräslevyt valmistetaan paksuuden + toleranssilla. Teräksen ominaispainosta 7,85 siirrymme + toleranssin kautta suhteelliseen arvoon 7,85 x 1,03 = 8,0 Tämä on yleinen tapa teräslevyn painon määrittämisessä. Paino on pinta-alan ja levyn paksuuden mukaan muuttuva. Pinta-alan säilyessä samana, paksuuden muuttuessa, kerroin 1,25 korotetaan porrastusten osoittamaan potenssiin. Suhteellisuus teräslevyssä, on selkeästi havaittava. Tämän kaltaista laskentaa harjoitin hahmottaakseni suhteellisuutta.

                 1.      2.     3.     4.     5.   6.   7.

1 - 1,25 - 1,6 - 2,0 - 2,5 - 3,15 - 4 - 5 - 6,3 - 8,0 - 10

Esimerkki 1: Levy PL 5 3150 x 2500 mm => 8 kg/m² x 3,15 m x 2,5 m x 5 = 315 kg

                                                         1,25⁵  = 3,15 m             1,25⁴ = 2,5 m

             8 kg x 5 (1,25⁵  x 1,03) x (1,25⁴ x 1,03)= 316 kg          ( tarkka paino )

                                    8 kg x 5 x 1,25⁹  x 1,03² = 316 kg     

                                                        1,25⁷ = 5 (levyn paksuus)

             8 kg x 1,25⁷ x 1,03 x 1,25⁹  x 1,03² = 311 kg               ( eroaa 1,6 % )

                                        8 x 1,25¹⁶ x 1,03³ = 311 kg

Sitten kysymys; Mikä kerroin 1,03 on?  (545)

55.   PYÖRÖTANKOJEN VARASTONIMIKESARJA

Laaditaan lujuuden perusteella looginen pyörötankojen varastonimikesarja. Sarjan saa yhdistämällä Fibonaccin ja suhdelukujonon kertoimella 1,25. Terästangon halkaisijan kasvaessa kertoimella 1,25 (koneenrakennuksen yleinen väsymisen kerroin) poikkipinnan pinta-ala noudattaa Fibonaccin lukujonoa.

Fibonaccin lukujono       ( 1 ) -  1   -   2  -  3   -   5  -   8    -   13   -    21   -   34   -  55

Suhdelukujono (D cm)    (1)- 1,2(5) - 1,6 - 2,0 - 2,5 - 3,2  -  4,0   -   5,0  -   6,3 -   8,0     

A pyörötanko cm²          0,785 - 1  -   2 - 3,15 - 4,91- 8,04 - 12,57 - 19,63 -33,18 - 51

                                                             1.     2.      3.      4.        5.         (6.)

Suhteellisuusraja on viisi porrastusta, jossa tarkkuus säilyy.

Halkaisijasarja koneenrakennukseen

10 - 12 - 16 - 20 - 25 - 32 - 40 - 50 - 65 - 80 - 100.... mm

Esimerkki

Pyörötangon halkaisija 8 cm => A = (3,14... x D²) / 4

                                                   A = (3,14... x 8²) 4

                                                   A = 50,27 cm²

Fibonaccin lukujonossa halkaisija 55 pyörötangon poikkileikkausala on 50,27 cm². Terästen poikkileikkausten halkaisijat ovat toleranssiltaan + merkkisiä, jolloin arvon 50,25 cm² voi korottaa arvoon 51 tai alentaa arvoksi 50 cm². Laskennan kannalta tällä ei ole merkitystä, kun terästangon poikkileikkausta kasvatetaan kertoimella 1,25 (koneenrakennuksen yleinen väsymisen kerroin), silloin poikkipinnan pinta-alat noudattavat Fibonaccin lukujonoa.

Kultainen leikkaus

Suhdelukujonon arvon kasvaessa kahdella portaalla, kasvaa halkaisija kertoimella 1,6(18).

            Porrastus 1   ja   2

Esim.   D 2,0 cm -  D 3,15 cm          3,15/2 = 1,6(18)

            D 4,0 cm -  D 6,3 cm            6,3 / 4 = 1,6(18)

            D 6.3 cm -  D 10,0 cm          10 /6,3 = 1,6(18)

Poikileikkauksen pinta-ala kasvaa kertoimella 1,6(18)²

                                Porrastus 1  ja    2

Esim   D2,0 cm   -    3,15 cm²   -   33,18 cm²              8,04 / 3,15 = 1,6(18)²

           D4,0 cm   -  12,57 cm²   -   33,18 cm²              33,18 / 12,57 = 1,6(18)²

Suhdelaskenta ei ole laskentaa desimaalien tarkkuudella.

Staattiset arvot

D cm           1    -  1,2(5)  -  1,5(1,6) -  2  -   2,5  -   3,2  -   4  -     5  -   6,3  -   8  -  10

Ix  cm⁴     0,0491    0,12     0,32     0,785,  1,92   5,15   12.56  30,7   77,3    201   490,1

Wx cm³    0,0981   0,192     0,40    0.785   1,53   3,21    6,28   12,3   24,5    50,3  98,2

                  (+2)      (+1,6)    (+1,25)   (1)    (-1,25) (-1,6) (-2)   (-2,5)  (-3,15)  (-4)   (-5)

                                   Wx / Ix                                           Ix / Wx    

a)  Kappaleen vapaa putoaminen 4,91 m / 1 sekunti

b)  Painovoima 9,81 m/s²

c)  Teräksen ominaispaino 0,785

d)  Laskennan kertoimet 1,25 ja 1,12

e)  Täysympyrä kaksi pii radiaania (6,28)

f)   Fibonaccin lukujono 1 - 1 -  2

                                      1 + 1 = 2

                D10    0,0491  Ix cm⁴     -      0,0981 Wx cm³

                0,0491 cm⁴  + 0,0491 cm⁴  = 0,0982  cm⁴

                 D10 0,0981 Wx cm³    -  D12(,5) 0,192  Wx cm³

Esitetty sarja kattaa lujuuden perusteella määritetyt poikkileikkaukset. Valitun sarjan ominaisuudet esitetään lujuuslaskennan yhteydessä.

Lisäys 

Varastonimikkeiden kokojen porrastus vastaa luonnon-mukaisena kultaista leikkausta ja seuraa Fibonaccin lukujonoa poikkileikkauksen osalta. Suhdelaskennan esityksen mukaisesti, poikkileikkauksen hyväksi koetun käytännön eli oikein mitoitetun osan arvot, siirtyvät toiseen eri mitoituksella olevaan vastaavaan.

Luomakunnassa suhteellisuus siirtää hyväksi koetun käytännön tuoteporrastukseen. Ihmisen kohdalla tämä merkitsee vauvasta - lapseksi - nuorukaiseksi - aikuiseksi - vanhukseksi. Rakenteen koko muuttuu kasvamisen ajan, mutta hyväksi koettu käytäntö kulkee läpi tuotesarjan. Samalla tavalla, kuin Blaise Pascal määritti nimellään kulkevaan kolmioon liittyvän jotakin tärkeää, voin kirjoittaa näin liittyvän myös Fibonaccin lukujonoon.

56.   YLEISTÄ MITOITTAMISESTA

Suuret tekijätkin epäonnistuvat joskus akseleiden ja niihin liittyvien osien mitoittamisessa. Kotimainen tiedollisesti ja taidollisesti merkittävä yritys toimitti laitteen, jossa lujuuslaskijan mukaan oli akseli, jonka mitoitusjännitys oli suuruusluokkaa 2,5 kN/cm². Laskennallisesti akselin ei olisi pitänyt rikkoutua, mutta näin kävi. Oliko syynä keinahtelevat kuormat akselilla, akselin syymäisyys ja pinnan kuoriutuminen kiilauran kohdalla, vai mikä johti vaurioitumiseen?

Laskenta esittää erään mahdollisuuden vioittumiseen.

Autonvalmistaja lanseerasi markkinoille 2000-luvun vaihteessa mallin, jonka vetoakselit kestivät 100 000 km tai alle, voi sanoa jokaisessa autossa. Syyksi esitettiin suojaavan kumipalkeen huonoutta, mutta lopputulos asiakkaan kannalta oli rikkoutunut tuote.

Vetonivelet eli nivelöidyt akselitapit maksoivat noin 600 euroa kappale asennettuna. Tehdas tuli vastaan alle 100 000 km ajetuissa autoissa maksamalla toisen ja asiakas toisen vetonivelen. Auton kehityksen kestettyä vuosikausia, jäi kerrottu lapsus silti tuotteeseen. Jossakin vaiheessa liimatut ovetkin irtosivat.

Suurten epäonnistuessa, tiedämmekö paremmin odotettavissa olevista ongelmista? Tämän esityksen ollessa suhdelaskentaan perehdyttävän, tarjoaa laskenta raamit mitoitukseen. Jokainen tuote, on mittojen varmistuttua laskettava perinteisellä, opetetulla tavalla. Tulemme havaitsemaan eron suhdelaskentaan olevan usein pienen ja suhteellisuuden vakiinnuttua, voi sen varaan jättää enemmän. Aluksi on syytä verrata laskentaa keskenään ja havaita siirtyvät ominaisuudet laskennan avulla. (547)

Sitten kysymys; Mikä kerroin 1,03 on?

57.   NORMAALIJÄNNITYKSEN LASKEMINEN

Tunnettu voima vaikuttaa pinta-alaan. Jännityksen suuruuden saa jakamalla vaikuttavan voiman pinta-alalla. Mitä suurempi pinta-ala, sitä pienempi jännitys. Tämä riittää aluksi, jota täydennetään myöhemmin suhdelaskentana. (150)

58.   TAIVUTUSTAPAUS 1 LASKEMINEN

Eniten tarvittavaa tietoa lujuuslaskennassa on kappaleen taipuminen kuormitettuna. Kuormitustapauksista yleinen on tapaus, jossa pistekuorma vaikuttaa kannattajan keskellä, joka on tuettu molemmista päistä. Taipuma muodostuu pistekuorman aiheuttamasta taipumasta kannattajan keskellä ja kannattajan painosta aiheutuvasta taipumasta. Laskenta HEB100 - HEB500 profiileille. (395)

Profiili      L1000      σ_t           Ix          Wx          Iy         Wy               Pinta-ala

Nimike       cm      kN/cm²     cm⁴          cm³           cm⁴        cm³      kg/m    A cm²

HEB100      518         2,2         450          90         167       33,5       20,4      26

Taipuma kannattajan painosta;

F = Kannattimen paino

     5,18 m x 20,4 m/kg =  1,04 kN (105,6 kg)

L = taulukosta 518 cm

Ix = taulukosta 450 cm⁴

E = vakio 20600 kN/cm²    

f =  taipuma

f =  5 x F x L³ / 384 x E x  I

f =  0,204 cm

Pistekuormasta aiheutuva taipuma;

F = 1 kN

f = F x L³ / 48 x I x E

f = 0,314 cm

Taipuma yhteensä;   

0,204 cm + 0,314 cm = 0,518 cm

518 cm / 1000 = 0,518 cm

1:1000

(695)

59.   PASCALIN KOLMION KERROIN 11

Matematiikassa Pascalin kolmion rvien välinen kerroin on 11. Samaa tarkoittavassa suhdelaskennassa 1,1, jolloin seuraava osoittaa kertoimen 11 arvon.

Pascalin kolmio

1 dim                      1                       = 1                             1 = 1

2 dim                   1     1        = 1 +1 = 2                    1,1 x 1 = 1,1

3 dim               1     2      1                                    1,1 x 1,1  = 1,21

4 dim           1     3      3     1            = 8               1,1 x 1,21 = 1,331

5 dim        1    4      6      4     1                             1,1 x 1,31 = 14641

Neljännen ulotteisuuden kerroin on 1,331

Deflection

Kuorman kasvaessa kaksinkertaiseksi, kokonaisuuden muutos ksavaa 11 kertaiseksi. Kuorman aiheuttama taipuma kasvaa kahdeksan kertaiseksi, kun jänneväli kasvaa kaksi kertaa suuremmaksi. Sen osoittaa 4 dim rivin yhteenlasku.

Se mitä ei näe, on staattisen väsymisen kerroin; 1,331 x 8 x 1,03(28) = 11

Aikadilaatio taulukko

Jännevälin kasvaminen on yksiulotteista etenemää, jonka kerroin on 1,25. Aivan samoin kuin avaruusaluksen eteneminen avaruudesta 75000 km/s, johtaen aikadilaatioon. Aikadilaatiossa valon nopeudella 0,25, "kitka" on suuruudeltaan 1,03(28). Sen voi todeta taulukosta. Etenemiseen kolmeulotteisessa maailmassa, neljäs ulotteisuus tuo kertoimensa.

1,25³ x 1,03 = 2

Liikkuvien kappaleiden aikadilaatio (Eng)

Profile      L1000        σ_t          Ix          Wx          Iy          Wy                  Area

Nimike       cm      kN/cm²     cm⁴         cm³         cm⁴        cm³      kg/m    A cm²

HEB100      518       2,2        450         90         167       33,5       20,4      26

Taulukko: Kun jänneväli 519 (518) cm => taipuma on 0,518 cm

Taipuma kannattajan painosta;

Kannattimen paino

10,36 m x 20,4 kg/m =  2,08 kN

f = taipuma / deflection

f = 5 x F x L³ / 384 x E x  I

f = 3,279 cm

Pistekuormasta aiheutuva taipuma;

F = 1 kN

f = F x L³ / 48 x I x E

f = 2,499 cm

Taipuma yhteensä;   

3,279 cm + 3,251 cm = 5,800 cm

5,800 cm / 518 cm = 11,2

1 - 1,12 -1,25

11,2

112

(kerroin 1,12)

Laskenta ei ole desimaalien asettamista  (766)

59.1   KULTAINEN KOLMIO

Kolmiossa kateettien pituudet ovat 1 ja 0,5 yksikköä  => hypotenuusa 1,118 yksikköä ja piirin yhteenlaskettu pituus 2,618 yksikköä. Kultainen leikkaus on neliöjuuri 2,618 eli 1,618 x 1,618 = 2,618. Ilmiössä tarkasteltaessa arvon muutosta, tunnettu lähtötieto saa suhteellisen arvon 1. Kun ilmiössä muutos yksiulotteisena on 1,118 (1,12), sen arvoon vaikuttava muutos on 1,4641 kertainen Pascalin kolmion ilmoittamana. Pascalin kolmiossa rivien välinen kerroin 1,1 on käytännön laskentaan 1,12.

Kuvio yllä vasemmalla:      1 / 1,618 = 0,618      kultainen leikkaus 1,618

Kuvio alla vasemmalla:           1 - 1,12 - 1,25      suhdelukujono

kuvio alla oikealla:                 2 x 0,5 + 0,618      kultainen leikkaus 1,618 

Kaksitukisen kannattajan jänneväli kasvaa 1,1(18) kertaiseksi alkuperäisestä pituudesta => taipuma kasvaa 1,46 kertaiseksi.

Laskemme jotakin, joka on kokonaisuus ja jotakin, joka ei ole.

Kokonaisuus on kolmio ja sen pinta-ala 0,25 yksikköä eli suhdelukujonon kerroin 1,25.

Arvo (1,118), joka ei ole kokonaisuus, ovat yhdessä kaksi sektorin arvoa (0,618 + 0,5 = 1,118. Yksikköjä ei ole, sillä laskemme maailmankaikkeuden laskentaa.

Nähtävän lisäksi on olemassa näkymätön maailman kaikkeuden kitka 1,03 (1,25 => 1,03 taulukossa). On hyvä muistaa, ettei kokonaisuus ole desimaaleja.

Sektori 1 + sektori 2 = 0,227

0,089 + 0.138 = 0,227

Puuttuva pala kokonaisuutta on Pascalin kolmion rivikerroin 1,1

0,1                             1

0,2                       1         1                        1,1 x 1,0 = 1,1     

0,4                   1        2        1                   1,1 x 1,1 = 1,21 

0,8              1        3       3       1                1,1 x 1,21 = 1,33

1.6          1       4        6       4      1            1,1 x 1,331 = 1,46

        1     6       1        1       6          1        1,1 x 1,4641 = 1,61

                                                                  Yhteensä = 6,71 ( x 10 ^-11 )

Lopulta Pascalin kolmio muodostaa gravitaatiovakion. Tämä on esimerkki siitä, kuinka geometriset alat näkemisen geometriassa ovat samaa laskutehtävien kanssa. Gravitaatio on toistaiseksi selvittämätön, jossa muutaman desimaalin erolla ei ole merkitystä. (659)

60.   AKSIAALINEN PURISTUMA

F = 1 kN           L = 100 cm        A = 5 cm²         ό = 0,001       E = 20 600 kN / cm⁴

Peruskuorma on aina 1 KN

                       Pituus 100 cm on helppo muistaa

                                                                        Puristuma 0,001 cm

                                                                   Tanko cm

                               F kN  ==>   ====================   <== kN

Kaava laskee teräksen puristuman ja venymän, tarvitsematta ymmärtää laskelmaa. Suhdelaskenta tarvitsee lähtöarvon, jota kaava ei vaadi.

Klikkaa laskelmaa

Suhdelaskenta  -  EPC Calculation

Esimerkki 1

F = 200 kN       =>   F_{Δ  =}  200   (x 1 kN)

L = 500 cm       =>   L_{Δ  =}       5   (x 100 cm)

A = 50 cm²        =>  A_{Δ  =}    10   (x 5 cm²)

ό  =  0,001 x F_Δ x L_Δ      =     0,001 x 200 x 5        = 0,09708 

          1,03 x A_Δ                       1,03 x 10

Esimerkki 2

F = 1200 kN       L = 800 cm        A = 315 cm²        ό =  ?

ό  =  0,001 x F_Δ x L_Δ      =     0,001 x 1200 x 8        = 0,1479

              1,03 x A_Δ                       1,03 x 63

                                            (Taulukkolaskenta antaa 0,1479)

Esimerkki 3

F = 0,3 kN       L = 20 cm        A = 1 cm²        ό =  ?

ό  =  0,001 x F_Δ x L_Δ      =     0,001 x 0,3 x 0,2        = 0,000291  

           1,03 x A_Δ                       1,03 x 0,2

                                            (Taulukkolaskenta antaa 0,0003)  (779)

61.   AVARUUSLÄVISTÄJÄ LUJUUSLASKENNASSA

Lujuuslaskennasssa normaalijännityksen nimellisen suuruuden ollessa 1 (särmän pituus kuutiossa) ==> leikkausjännityksen vaikutus voimasta on kaavojen mukainen 1,7 kertaa normaalijännityksen arvo. Tämän lujuuslaskentaa hallitsevat tietävät.

NJR = neliöjuuri

NJR (3) = 1,7

Kuvio yllä esitettynä yhdellä desimaalilla esitti saman. Molemmat ovat hypotenuusoja kahdesta eri kuviosta, kuten leikkaus ja taivutus ovat eri kohdasta taivutettavaa kannattajaa. Vaikutuksen ero näiden välillä on 

1.1(18) + 0.6(18) = 1.7

Siksi polttopuu katkaistaan kirveellä leikkaamalla, yrittämättä vetää puuta poikki.

LASKENTAESIMERKKI 1

HEB200 kannattajan jänneväliä kasvatetaan kokeilemalla metrin pituudesta 1000 cm viisi kertaa kertoimella 1,1, jolloin uudeksi jänneväliksi tulee 161,051 cm.

70.   LASKENTAESIMERKKEJÄ

Esimerkki 1

HEB200 -profiilia kuormittaa oma paino.  Jänneväliä kasvatetaan metrin pituudesta (100 cm) viisi kertaa kertoimella 1,1, jolloin uudeksi jänneväliksi tulee 161,051 cm. Kymmenellä desimaalilla laskettu taipuma metrin jännevälillä (100 cm) on laskettu ohjelmalla 0,6675226738 cm. Määritä taipuma jännevälillä 161,051 cm.

Profile       L1000      σ_t            Ix          Wx           Iy          Wy                                 

Nimike       cm       kN/cm²     cm⁴         cm³          cm⁴        cm³       kg/m     A cm²

HEB200     1062        2          5700        570       2000       200        61,3     78,1

Taipuma 161,051 cm

Lähtötieto x muutosⁿ = uusi taipuma

0,667526738 cm x muutosn  = 4,4907861 cm

Tarkkuus on tässä seitsemällä desimaalilla, mutta kymmenen desimaalin tarkkuus sisältyy laskelmaan. Tarkempi laskennan esittäminen on osoitettu sivuillani, jos luette niitä.

b) Samaa tarkoittava suhdelaskenta

Jos olette tutustuneet  painovoimavakioon ja lukeneet siitä kirjoittamani näillä sivuilla. Laskette edellisen tehtävän seuraavalla tavalla.

6,72561 x 0,667526738 cm = 4,49 cm, joka on riittävä tarkkuus tarkasteluihin

Esimerkki 2

Insinöörit tarvitsevat staattisia arvoja kyetäkseen laskemaan yksinkertaisia asioita. Jos kerrot profiilin taipuvan omasta painosta 0.10828 cm jännevälillä 10 m, he ymmärtävät taipuman. Kysyttäessä paljonko profiili taipuu jännevälillä 16,051 m et saa vastausta. Heidän mielestään lähtötiedot eivät riitä tehtävään. Outoa?

Siksi on olemassa suhdelaskenta, ettei taulukoita tarvita laskemiseen. On ymmärrettävä gravitaatiovakion oleva vakio ja tämän seurauksena taipumakin on vakio. Edelleen se johtaa valonnopeuteen ja aikadilaatioon, jonka geometrinen muoto on matematiikassa tunnettu. Siksi, laskekaapa edellinen esimerkki ja ottakaa mikä tahansa poikkileikkaus, jonka mittaa kasvatatte edellä olevalla suhteella. Tästä voimme siirtyä muihin suhteisiin, mutta ei sotketa niitä tähän.

Voitte hyvin laskea itse tämän esimerkin.

Esimerkki 3

8,77565 m pitkä kannattaja on asetettu kahden tuen varaan esimerkin 1 mukaisesti. Taipumaksi on mitattu omasta painosta 0,17112049 cm. Määritä taipuma neljällä desimaalilla, jos tuentaväli on 17,84991 m.

f = fo x aikadilaatioⁿ

f = 0.17112049 cm x aikadilaatioⁿ

f = 2.9290729618768053382408109555241

Joidenkin ponnistelujen jälkeen ohjelmalla laskettu taipuma olisi 2.929072981 cm. Sen lisäksi ei ole olemassa mittalaitetta, jolla näillä kahdella tavalla lasketun tuloksen voi erottaa toisistaan. Edellä oleva tarkoittaa suhdelaskennan pystyvän kolmella desimaalilla tarkempiin laskelmiin, kuin taskulaskimessa on desimaaleja tai mittalaitteessa tarkkuutta. Tämän lisäksi laskettavaa kohdetta ei tarvitse olla oikeasti olemassa profiilina, käyränä taulukossa tai tuotteena valmistettu, jotta sen ominaisuudet tunnettaisiin. Tässä samaa tarkoittava suhdelaskenta poikkeaa kaikesta milloinkaan aikaisemmin esitetystä laskemisesta.

Kysykää vaikka tätä tehtävää professoriltanne, lujuuuden opettajaltanne. Takaan, ettette tule saamaan vastausta tehtävään. Ei heidän pitäisikään pystyä siihen vastaamaan, sillä olen ainoa tähän kykenevä tiedollani. Jonakin päivänä me kaikki hallitsemme tämän.

Mittayksiköillä suhdelaskennassa ei ole merkitystä. Yhtä hyvin mitat voivat olla tuumia, jalkoja tai mitä tahansa.

Esimerkki 4

Profile      L1000       σ_t            Ix           Wx           Iy          Wy                             

Nimike       cm       kN/cm²     cm⁴         cm³         cm⁴        cm³       kg/m     A cm²

HEB200     1062        2          5700        570       2000       200        61,3     78,1

Vastausvaihtoehdot

a             b            c             d   

4            12          16          20  - kertaa alkuperäinen taipuma

Ainoa muuttuja kaavassa on L, josta voitte päätellä vastauksen. Voitteko sittenkään, jonka saatte selville laskemalla kaavan arvoilla.

21.6.2018*08:00
www.karikolehmainen.com
epcalculation@gmail.com